Pseudopruebas intuitivamente razonables

Question

¿Cuáles son las "pruebas" agradables de hechos reales que no son realmente rigurosas pero que dan la respuesta correcta y siguen teniendo sentido en algún nivel? Personalmente, las considero placeres culpables. He aquí algunos ejemplos de lo que tengo en mente:

1. $s=\sum_{i=0}^\infty \delta^i=1/(1-\delta)$ .

   "Prueba:" $s=1+\delta+\delta^2+\cdots=1+\delta s$ y por lo tanto $s=1/(1-\delta)$ .

2. $(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)$ .

   "Prueba:" $\displaystyle\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\bigg(\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\bigg).$

3. $[0,1]$ es incontable.

   "Prueba:" Elige un número de $[0,1]$ al azar. Cada número tiene la misma probabilidad. Si esta probabilidad fuera positiva, habría un número finito de números tales que la probabilidad de elegir uno de ellos supera $1$ que no puede ser. Así que la probabilidad de elegir cada número es $0$ . Si $[0,1]$ fueran contables, la probabilidad de elegir cualquier número real sería $0=0+0+0+\cdots$ . Pero al escoger de una distribución uniforme, obtendré un número real con certeza.

Podría ser útil indicar dónde están los fallos de rigor y por qué el método funciona de todos modos.

Answer 1

Teorema de Cayley-Hamilton. Dejemos que $A$ ser un $n\times n$ y que $f(t)$ sea su polinomio característico. Entonces $f(A)=0$ .

" Prueba ." $f(t) = \det(A-tI)$ . Por lo tanto, $f(A) = \det(A-AI) = \det(A-A) = \det(0) = 0$ .

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Problemas. Un problema puede no ser obvio... la ecuación " $f(A)=0$ " está diciendo realmente que la matriz que obtenemos a través de la evaluación (identificando el campo subyacente con el subring de matrices escalares) es el cero matriz. Sin embargo, la "prueba" pretende demostrar que $f(A)$ que se supone es una matriz, es igual al valor de un determinante, que es un escalar .

En cuanto a por qué "da las respuestas correctas"... bueno, porque el teorema es Es cierto. Me acuerdo de lo que dijo una vez Hendrik Lenstra en clase después de presentar una idea para una prueba y explicar por qué no funcionaba del todo:

El problema de las pruebas incorrectas de las afirmaciones correctas es que es difícil encontrar un contraejemplo.

Answer 2

$$\begin{align*} x^{x^{x^{\scriptstyle\ldots}}} &= 2\\ x^{\left(x^{x^{x^{\scriptstyle\ldots}}}\right)} &= 2\\ x^2 &= 2\\ x &= \sqrt{2}\\ \end{align*}$$

Answer 3

Los límites de la luz emitida "segura" son muy complicados. Puede leer sobre los fundamentos aquí .

Una regla general que he oído es que si la potencia emitida es superior a 5mW, se debe utilizar protección. Ya que los LEDs que enlazaste son capaces de 10mW, sí pueden ser perjudiciales . No los utilice hasta que entienda cómo pueden ser perjudiciales y cómo prevenirlo.

Los rayos UV son especialmente peligrosos porque no podemos verlos, por lo que nuestro reflejo de parpadeo no sirve de nada. Para trabajar de forma segura con estos LEDs debes conseguir unas gafas que bloqueen las posibles longitudes de onda que puede emitir el LED, de 390 a 405nm ±2,5nm. Aquí hay ejemplos.

Este párrafo responde a una pregunta editada en el OP en la que se preguntaba por qué tenía un bolígrafo UV sin advertencias. En cuanto a tu pregunta sobre la luz del bolígrafo UV, es probable que la potencia fuera lo suficientemente baja como para no ser perjudicial. Menos de 0,39mW (aproximadamente) se considera seguro para los ojos, así que por debajo de eso no habría sido necesaria ninguna advertencia.

Answer 4

Lemma de Ito : Supongamos que $x(t)$ tiene una SDE del tipo $dx(t)=\mu(t)dt+\sigma(t)dW(t)$ para $\mu$ y $\sigma$ procesos adaptados. También se supone que $f\in C^{1,2}$ . Definir $z(t):=f(t,x(t))$ entonces $z(t)$ obedece a la siguiente SDE: $$df(t,x(t))=\left\{\frac{\partial f}{\partial t}+\mu\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\right\}dt+\sigma\frac{\partial f}{\partial x}dW(t)$$ " Prueba ": Taylor ampliar para obtener $$df=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{1}{2}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}dx^2+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2f}{\partial t^2}dt^2+\frac{\partial^2f}{\partial t\partial x}dtdx.$$ Entonces usa eso $(dt)^2\approx 0$ , $(dW)^2=dt$ y $dWdt\approx 0$ , obteniendo el resultado.

Answer 5

Teorema de Pick : Supongamos que $P$ es un polígono cuyos vértices son todos los puntos de la red. Si un $P$ contiene un punto de la red $p$ entonces contiene todo el cuadrado alrededor de $p$ o casi. Si pasa por un punto $p$ entonces la mitad de $p$ está dentro de $P$ y la mitad fuera, o casi. Así que si $i$ es el número de puntos de la red dentro de $P$ y $b$ el número de puntos de la red en la frontera de $P$ La zona de $P$ será $i + \frac b2$ más o menos algún factor de ajuste por el hecho de que incluso un polígono pequeño ya contiene varios puntos de red.

Un cuadrado mínimo tiene $b=4$ y $i=0$ por lo que el factor de manipulación es aparentemente -1. Y de hecho el área de cualquier polígono de la red es efectivamente $i + \frac b2 -1$ .