En una definición del colector de

Question

En el libro Matemática obra Maestra, en la página 160, escribieron los autores que

Un colector, en Riemann, de palabras, es una continua transición de una instancia

Yo sé de un colector es algo pegado en el ámbito local homeomórficos para Euclidiana de las partes, pero de la que no puede deducir la conclusión anterior.

Podría alguien explicar para mí, ¿qué quieren decir por una transición de una instancia?

EDIT: he arreglar el enlace, ahora puedes leer

Answer 1

Usted ha tropezado a través de uno de los interesantes trampas de la historia de la ciencia.

Esas palabras atribuidas a Riemann, no debe ser entendida como equivalente a la moderna definición de lo que han aprendido para un colector, es decir, como "algo pegado en el ámbito local homemorphic para Euclidiana partes".

Riemann, el desarrollo del concepto de un colector, que fue mucho más allá que la de cualquier predecesores. Las palabras citadas son, probablemente, algunos de traducción de palabras que Riemann inventó para tratar de explicar este concepto a sus contemporáneos en forma intuitiva que tenía sentido para ellos.

Si los 150 años de la retrospectiva se ignora, puede ser fácil olvidar que de Riemann consiguió en la comprensión del concepto de colectores, él no llegar tan lejos como el concepto que utilizamos en nuestra moderna topología diferencial de las clases. De hecho, creo que el lenguaje moderno de atlas --- coordinar los gráficos y suave de la superposición de los mapas --- no fue utilizado en su totalidad, de forma abstracta, hasta bien entrado el siglo 20, tal vez no hasta que John Milnor temprana de conferencias sobre la topología diferencial.

Answer 2

Ok. Primero de todo, no estoy totalmente seguro de lo que Riemann significa que (él pudo haber estado hablando de la "instancia" desde los colectores se utilizan en la teoría de la relatividad). Me voy a dar una definición estándar de suave colectores de uso de la lengua que se usa más comúnmente en las matemáticas de hoy. Yo también se incluyen algunas reflexiones después de las definiciones.

Topológico Colectores

Antes de hablar acerca de lo que un suave colector (uno en el que puede realizar el cálculo), se debe ser claro acerca de cuáles son las propiedades que nos gustaría en nuestro espacio tiene. Para esto tenemos que un topológico colector $M$ es un espacio topológico que consta de las siguientes propiedades:

1. Localmente Euclídeo - para cada punto de $p \in M$ hay un barrio $U \subseteq M$ contiene $p$ y un homeomorphism $f: U \to V$ donde $V \subseteq \mathbb{R}^n$ es un subconjunto abierto. A menudo es conveniente restringir el acceso a la conexión de un subconjunto $U$, entonces podemos tomar $V = \mathbb{R}^n$ sí.
2. Hausdorff de la Propiedad distintos puntos de $M$ pueden ser separados por distintos bloques abiertos (esta propiedad es importante para asegurarse de que la secuencia de puntos en $M$ convergen únicos límites).
3. La existencia de Contables Topológica de la Base de que existe una contables abra la cubierta $\mathcal{B} = \{B_i \subseteq M \; | \; i \in I \}$ de manera tal que siempre que $B_i \cap B_j \neq \emptyset$ existe alguna $B_k \in \mathcal{B}$ tal que $B_k \subseteq B_i \cap B_j$ (esta propiedad es necesaria para definir una estructura denominada partición de la unidad que se utiliza a menudo para "pegamento" definido localmente funciones, formularios y campos vectoriales en definido globalmente objetos).

Suave Colectores

En la orden para empezar a hacer la geometría en los colectores tenemos algo que se llama un "suave estructura", el cual toma un poco de atención a desarrollar. Sin pérdida de generalidad, supondremos que cuando hablamos de homeomórficos barrios simplemente vamos a utilizar $\mathbb{R}^n$ en lugar de arbitraria abrir Euclidiana subconjunto. También asumimos $M$ es un topológica del colector. Vamos a tomar esto en pasos:

• Un emparejamiento de un subconjunto $U \subseteq M$ y un homeomorphism $\varphi:U \to \mathbb{R}^n$ se llama un gráfico de $M$ y escribimos esto como $(U, \varphi)$.
• Un atlas para $M$ es una colección de gráficos de $\mathcal{A} = \{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}$ tal que $\bigcup_\alpha U_\alpha = M$.
• Un atlas $\mathcal{A}$ $M$ se dice que es suave atlas siempre $(U_\alpha, \varphi_\alpha)$ $(U_\beta, \varphi_\beta)$ son gráficos en $\mathcal{A}$ tenemos que $\varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1}$ es un buen mapa Euclidiana entre los espacios proporcionados $U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset$ (de hecho, en realidad son diffeomorphisms).
• Una estructura diferenciable para el colector $M$ es la máxima suave atlas (es decir, una suave atlas que no está contenida en ningún otro liso atlas; este se utiliza principalmente como una herramienta teórica para abarcar todas las posibles atlas que están suavemente compatibles el uno con el otro). Un emparejamiento de un colector $M$, con una estructura diferenciable que se llama una variedad diferenciable o suave colector.

Aunque nada de esto necesariamente explica Riemann, de la terminología, esto le da una manera en que los autores suelen definir lo que es un suave colector. Los colectores se utilizan a menudo para describir el estado de los espacios, o espacios de información para un sistema (con frecuencia en la física, análisis de datos, y ahora un equipo de programación). Están definidos de tal manera que se convierten en el más general de los espacios en los que uno puede realizar el cálculo. Espacios que normalmente son de interés en el mundo, en el que uno querría para el estudio de suavizar las variaciones de una cantidad, más a menudo que no presentan una no-Euclídea. Normalmente demasiado, mientras que un colector generalmente representa el espacio de todos los posibles estados de un sistema, los estados actuales de un sistema ocupa generalmente se traza una curva en algunos colector. "La transición de una instancia", posiblemente, puede tener que ver con cómo la variación del estado de un sistema se puede asignar como un tiempo-dependiente de la función en un no-espacio Euclidiano.

Answer 3

Creo que sus autores mal citado a Riemann. En su famoso ensayo de 1854 Riemann menciona la posibilidad de pasar continuamente de un "modo de determinación" a otro, por que él significa, en terminología moderna, que la forma cuadrática determinar la métrica varía continuamente de un punto a otro en un colector.

Answer 4

Bueno, yo no estoy exactamente seguro de lo que Riemann tenía en mente, pero si yo tuviera que adivinar, tiene que ver con la principal de la localidad. Desde Riemann parece estar explicando a modo de analogía, apelando a un físico (o tal vez metafísico) concepto como una instancia (o tal vez un momento), voy a continuar con la analogía, apelando a los conceptos físicos.

Casi todos los de la física se puede dividir en dos estudios diferentes: el de la dinámica y de la cinemática. La dinámica es el estudio de los objetos bajo la influencia de causas, tales como una partícula que se mueve en presencia de un campo electromagnético, o el movimiento de la bola una vez que ha sido expulsada. En el otro lado de la cinemática pretende estudiar el movimiento de los objetos sin referencia a las causas.

Entonces, ¿qué podría ser destinados por ejemplo, es realmente el momento en el que algo afecta a otra cosa. El modelo Euclídeo es muy buena en la que describe la dinámica de un evento. En general, se puede describir la dinámica mediante la imposición de un sistema de coordenadas y describir la posición de la utilización de las coordenadas. Uno puede describir el movimiento de un objeto en estas coordenadas después de algunos causar afecta al objeto.

Por otro lado, en la presencia de no trivial de la cinemática, el efecto completo de la causa es más difícil de describir. La idea es que el movimiento del objeto en sí mismo está sujeto a algunos no trivial de la geometría independiente de la causa.

Creo que de la cinemática como la descrita por los colectores: el desnudo de la geometría en la que los puntos de vivir, pensar en como la modelización de la dinámica de movimiento bajo la influencia de causas sin referencia a esta geometría. En esta analogía, lo que los colectores de hacer es que nos permiten describir tanto la cinemática y la dinámica de un evento a nivel local. Un local de coordenadas del gráfico nos dice cómo es la dinámica en la que cada punto de los cambios, como variar el punto en un continuo de la moda...para ordenar de una continua transición de una instancia.

Por supuesto, todo esto es conjetura. Ya que no tengo idea de lo que Riemann que realmente se quiere decir con esa declaración.

Answer 5

Si se mira más adelante en el libro, las páginas 220-221, verás que el autor describe un discreto colector como una transición, la duplicación o repetición de una instancia. Él utiliza Warhol 32 latas de sopa como un ejemplo. En esencia, un discreto colector utiliza un simple objeto geométrico, lo que él llama una instancia, y replica que objeto para formar un objeto de mayor tamaño. Esto es similar a la de los generadores de los grupos de simetría del plano.

Para el caso continuo, se utiliza la esfera y el cilindro, como ejemplos de colectores de tht puede ser construido a partir de un continuo de traducción del círculo.

He publicado el enlace en los comentarios debajo de tu pregunta.