determinar si una función es periódica

Question

Dejemos que $f$ sea una función continua e integrable en $[a,b]$ tal que

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = 2$$

y para cada $t_1,t_2$ tal que $\displaystyle t_2 -t_1 = \frac{b-a}2$

$$\int_{t1}^{t2} f(x)\,\mathrm{d}x =1$$

Demostrar que $f$ es periódica y luego determinar su período.

La subpregunta anterior pedía demostrar que si $f$ es continua, entonces existe un $F$ tal que $F'(x)=f(x)$ por cada $x$ y se supone que ayuda.

Francamente, no tengo ni idea de por dónde empezar.

Quiero demostrar que existe un $T$ tal que $f (x+T) = f (x)$ por cada $x$ eso es todo lo que puedo decir, ¿alguna idea por favor?

Answer 1

Definir $G(x)=\int_{x}^{x+\frac{b-a}{2}} f(t) dt$ para $a\le x\le a+(b-a)/2$ . Entonces $G(x)=1$ por supuesto. Por lo tanto,

$$0=G^\prime(x)=\frac{d}{dx} \int_x^{x+\frac{b-a}{2}} f(t) dt=f\left(x+\frac{b-a}{2}\right)-f(x)$$

así que $f$ es periódica con periodo $\frac{b-a}{2}$ .

Answer 2

Demuestre que f es periódica y luego determine su período.

$f\left(x+\frac{b-a}{2}\right)-f(x)=0 $ $ $ para $ a\le x\le a+(b-a)/2$ $ $ demuestra que $f$ es periódico y que $T=(b-a)/2$ es a período.
¿Y su periodo menos positivo?
Consulte esta página: ¿Qué determina que una función tenga un periodo mínimo positivo?
Dos casos:
1. $f$ es una función constante, entonces no hay ningún período mínimo positivo. Nótese que en ese caso
$f(x)=\frac{2}{(b-a)}$

2. $f$ no es una función constante. Entonces existe un periodo mínimo $T_m>0$ y un número entero positivo $n$ tal que:
$f(x+T_m)=f(x)$ para $ a\le x\le a+(b-a)/2$ y $T_m=\frac{b-a}{2n}$