Subcampos de campos finitos

Question

Sabemos que si un campo finito $F$ tiene características de las $p$ (prime), a continuación, $F$ tiene cardinalidad $p^r$ donde $r = [F:\mathbb{F}_p]$.

Ahora estoy tratando de decir algo acerca de la posible cardinalidades de los subcampos de $F$. Puedo ver que no es un subcampo de la cardinalidad $p^s$ por cada $s$ que divide $r$, dado por el campo fijo del grupo generado por $\phi^s$ donde $\phi$ es el Frobenius automorphism.

Ahora supongamos $K$ es un subcampo de la $F$. Luego (ya que ambos son aditivos grupos), Lagrange nos da ese $|K|$ divide $|F|$, lo $|K| = p^t$ algunos $1 \leq t \leq r $ (alternativamente, $K$ contiene $\mathbb{F}_p$, por lo que es un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_p$ y por lo tanto es isomorfo a $\mathbb{F}_p^t$ donde $t = [K:\mathbb{F}_p]$). Considerando el grupo multiplicativo de las unidades de $K$ $F$ respectivamente, obtenemos que $ p^t - 1$ divide $p^r -1$. Quiero dar el salto a $t|r$, pero estoy fallando para ver por qué esto tiene que ser cierto. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Sabes más que un campo finito $F$ de los característicos $p$ tiene cardinalidad $q=p^r$ para un número $r\geq1$ ($r=\dim_{\Bbb F_p}F$). Es decir, usted sabe que por cada número de la forma $q=p^r$ no hay una única, hasta el isomorfismo, campo de $\Bbb F_q$ $q$ elementos y, además, $\Bbb F_q$ puede ser comprendido como el conjunto de las raíces del polinomio $X^q-X$ en algunos algebraicas cierre de $\Bbb F_p$.

Si $\Bbb F_q\supset K\supseteq\Bbb F_p$ es un subextension con $K=\Bbb F_{q'}$, $q=p^r$ y $q=p^s$ dimensional del argumento ($\Bbb F_q$$K$- espacio vectorial) muestra que $s\mid r$.

Pero la condición es también suficiente, ya que las raíces del polinomio $X^{p^s}-X$ aro raíces también de $X^{p^r}-X$.

Por lo tanto $\Bbb F_{p^r}$ contiene un campo con $p^s$ elementos si y sólo si $s\mid r$, y tal subcampo es único.

Answer 2

Si $p^t-1\mid p^s-1$, es decir, $p^s-1=k(p^t-1)$, entonces al dividir ambos lados por $p-1$, tenemos $1+\cdots+p^{t-1}+p^t+\cdots+p^{s-1}=k(1+\cdots+p^{t-1})$. Que $V=1+\cdots+p^{t-1}$. Entonces, $V+p^t+\cdots+p^{s-1}=kV$. Así, $V+p^t(1+\cdots+p^{s-1-t})=kV.$ en otras palabras $V+p^t(V+p^t+\cdots+p^{s-1-t})=kV.$ otra vez si podemos, $V+p^t(V+p^t(V+p^t+\cdots+p^{s-1-2t})=kV$ y así sucesivamente. El lado izquierdo es divisible por $V$ solamente si para algunos $j$, $s-1-jt=s-1$, $s=jt.$

Answer 3

Supongamos que $p^t-1|p^s-1$ pero no divide a $t$ $s$. A continuación, escriba $s=ta+b$, donde $0<b<t$. Ahora, $p^s-1=p^{ta+b}-1={(p^t)^a\cdot p^b}-1\equiv p^b-1(\mod p^t-1)$ que no pueden ser $0$. Contradicción. Por lo tanto, divide a $t$ $s$.