¿Qué es $\lim\limits_{z \to \pi/2} \tan^2(z) $ $z \in \mathbb C$?

Question

Estoy tratando de evaluar el siguiente límite ($z \in \mathbb C$):

$$\lim\limits_{z \to \pi/2} \tan^2(z) $$

Obtener la siguiente solución:

$$\lim\limits_{x \to \pi/2} \tan^2(x) = \lim\limits_{x \to \pi/2} \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \lim\limits_{x \to \pi/2} \frac{1 - \cos^2(x)}{1-\sin^2(x)} = \infty$$

Considerando que:

$$\lim\limits_{x \to \pi/2} \tan^2(ix) = \lim\limits_{x \to \pi/2} \frac{\sin^2(ix)}{\cos^2(ix)} = \lim\limits_{x \to \pi/2} \frac{(\frac{1}{2i}(e^{-x} + e^{x}))^2}{(\frac{1}{2}(e^{-x} - e^{x}))^2} = \lim\limits_{x \to \pi/2} \frac{-(e^{-x} + e^{x})^2}{(e^{-x} - e^{x})^2} < \infty$$

Por lo tanto, concluyo que el límite es indefinido. ¿Es esto correcto?

Answer 1

No, no es correcto. $$\lim_{x\to\pi/2} \tan^2(ix)$ $ no tiene ninguna relación con la pregunta. En ese límite, se aproximan a un argumento de $i\pi/2$. Probablemente quería considerar $$\lim_{x\to 0}\tan^2\left(\frac{\pi}{2}+ix\right)$ $, que es infinito.