Me gusta pensar en un montón de construcciones de como jugar a fingir. Voy a ir sobre los enteros modulo $n$, por ejemplo. Supongamos que empezamos a construir la naturals $0,1,2,\cdots$ y sus inversos aditivos, a continuación, dejamos la multiplicación - pero en nuestro resultante teoría que nunca especifique cuando los dos números son no iguales. Entonces no podemos obtener ningún tipo de contradicción de, digamos, $0=n$ (tenga en cuenta que una contradicción es de la forma $P\wedge\neg P$ para algunos la proposición $P$). Si añadimos a esto como un axioma, y dejarnos a "fingir" que $0$ $n$ son los mismos, entonces la media aritmética acabamos de describir es en el hecho de que de los enteros mod $n$. Línea de base: si se puede pretender que hay una estructura algebraica con tales y tales propiedades, y todo lo que es consistente, entonces allí no existe dicha estructura.
La filosofía de "jugar a pretender" puede no ser exactamente mental de la imagen per se, sino que es un estado de la mente que nos permite operar con varios tipos de pesado algebraica de la maquinaria de una forma fácil e intuitiva, de manera que yo creo que es importante saber en el contexto del álgebra abstracta. También, tal vez una serie / modelo teórico / lgica podría formalizar el concepto de "fingir" - es decir, la "teoría" de una estructura algebraica es una colección de algunos tipos de descripciones que se pueden hacer acerca de ello, y luego de "fingir" las relaciones son verdaderas equivale adyacentes a las propuestas de la teoría subyacente, como axiomas. Mi familiaridad es demasiado débil para hacer pronunciamientos sobre este.
La generalización de esto es pensar de cocientes como pretender relaciones son verdaderas. Formalmente, estamos creando una relación de equivalencia conservados por el ambiente de operaciones algebraicas que se obtiene mediante la formación de la colección de todas las "ecuaciones" que se obtiene mediante la realización de álgebra en un conjunto fijo de las relaciones. Por ejemplo, el abelianization $G^{\rm ab}:=G/[G,G]$ es obtenido por contigua conmutatividad de las relaciones de $ab=ba$ (para cada par $a,b\in G$) a la teoría del grupo de $G$ (la misma idea de un anillo de $R$). En este sentido, cada grupo $G$ es el cociente de la libre grupo cuyo alfabeto es el conjunto subyacente de $G$ por la recaudación de las relaciones codificados en la tabla de multiplicación para $G$.
Como un simple y divertido ejemplo, en mi álgebra abstracta de la clase que una vez estaban tratando de encontrar un ejemplo de un anillo de $R$ para que el polinomio anillo de $R[x]$ contenía un idempotente no constante (ya habíamos visto que el $\deg (f\cdot g)=\deg f+\deg g$ necesario para ser modificado a $\le$ cuando el anillo de la base contenida divisores de cero). El caso más simple sería la de considerar lineal de los polinomios, es decir, $(ax+b)^2=ax+b$ que reorganiza a $a^2x^2+(2ab-a)x+(b^2-b)=0$, por lo que simplemente puede hacer $a,b$ variables formales y establecer$R={\bf Z}[a,b]/(a^2,2ab-a,b^2-b)$, de modo que $ax+b$ es idempotente en $R[x]$.
No es necesario decir que, más cosas de las que estamos pretendiendo son verdaderas acerca de una estructura, el más moderado y se encogió de esta estructura debe terminar siendo. A veces creamos un objeto trivial en el proceso. Otra forma de decir esto es, en una expresión algebraica de la estructura de varias cosas pueden ser distintas, pero una vez que pretendemos dos cosas son iguales que los que no tuvo en cuenta la igualdad de antes, un efecto dominó en el que un montón de cosas, de repente, se vuelven iguales.
La noción de libertad en este contexto es sólo fingiendo tanto como sea estrictamente necesario. Si usted tiene un conjunto $X$, y el deseo de formar el grupo libre de ella, que al menos tiene que asumir que usted puede multiplicar e invertir los elementos de $X$, y que el grupo resultante tiene algún elemento de identidad, pero más allá de esto nada más debe asumirse, por lo tanto, si usted asume cualquier otra de las relaciones que terminan con un cociente de la libre grupo.
Del mismo modo para crear el producto libre de $A*B$, en el mínimo necesario para mantener las tablas de multiplicar para$A$$B$, y la necesidad de multiplicar los elementos de $A$ frente a los de $B$, pero más allá de esto nada más debe ser asumido. Pretender $A$ $B$ conmutar el uno contra el otro de los rendimientos de la suma directa como cociente del producto libre de: $A\oplus B\cong (A*B)/[A,B]$ (donde vemos a $A$ $B$ como subgrupos de el producto libre). El semidrect producto $N\rtimes H$ puede estar formado por quotienting el producto libre $N*H$ por las relaciones $hnh^{-1}=h(n)$ todos los $n\in N,h\in H$, es decir que "fingir" que la conjugación por $H$ es lo mismo que la aplicación de automorfismos.
En esta interpretación, si $A$ $B$ son cocientes de libre grupos de $A=FX/R$ $B=FY/S$ (donde $X,Y$ son disjuntas y $R,S$ son las relaciones, o más directamente de grupo-en teoría, los subgrupos generados por las palabras que considera igual a la identidad a través de las relaciones que nos quieran imponer), entonces el producto libre es fácil de entender para ser $FX/R*FY/S\cong F(X\sqcup Y)/\langle R\cup S\rangle$.
A menudo álgebras de lie $\frak g$ son considerados como subalgebras de un endomorfismo de álgebra con el estándar de soporte de colector como la mentira de soporte. Esto permite que tanto el álgebra de tipo multiplicación y la mentira de soporte de la operación en la estructura. Sin embargo, tan abstracto grupos no necesitan ser pensado como simetrías o funciones, no necesitamos pensar de $\frak g$ directamente como cualquier tipo de operación de multiplicación (y por lo tanto no hay colector soporte), sólo el resumen de la mentira de soporte de $[\cdot,\cdot]$ satisfactorio el dado de axiomas. Para crear el universal que envuelve álgebra $U({\frak g})$ del total de tensor de álgebra $T({\frak g})\cong\bigoplus_{n\ge0}{\frak g}^{\otimes n}$ podemos pretender que podemos multiplicar los elementos de $\frak g$ juntos - le tema a la propiedad distributiva $a(b+c)=ab+ac$ - y, a continuación, en la parte superior de este se pretende que el resumen de la mentira de soporte es de hecho el colector, es decir, el cociente por las relaciones $[a,b]=ab-ba$ todos los $a,b\in T$.
Si $H\le G$ es un subgrupo y $V$ es una representación de $H$ (básicamente un $K[H]$-módulo), a continuación, crear un $G$-representante de la presente nos permitimos a fingir que no hay acciones de $G$$V$, sujeto al subgrupo $H$ actuando en el entendido ya. Esto indujo a la representación por lo tanto, está formada por "la ampliación de los escalares" de $V$$K[H]$$K[G]$: este es el isomorfismo ${\rm Ind}_H^GV\cong K[G]\otimes_{K[H]}V$. De manera más general, tensoring contra un anillo de extensión nos permite formar un módulo (o álgebra), pretendiendo tenemos más escalares de multiplicar de los que teníamos antes. Para aplicaciones más útiles del producto tensor, ver las respuestas dadas a las preguntas aquí y aquí.
En los enlaces es también explicó que la diferencia entre el tensor del producto y de la suma directa puede ser entendido cuántico-mecánico, en el que vemos a los espacios vectoriales como sea posible formal de las combinaciones lineales de los vectores de la base - es decir, superposiciones de estados puros de un sistema físico, y la esencia de la superposición en QM (informalmente - esta es mi opinión) es pretender que un sistema puede ser en una mezcla clásica de los estados, así que me gustaría clasificar esta bajo la misma bandera.
Otros elementos que quiero mencionar en este tema son la fracción de campos y representaciones virtuales (dos ejemplos de un Grothendieck-tipo de construcción que, en cierto sentido, nos permite "completar" un "incompleto", algebraico de estructura). Mientras que los cocientes contrato de estructuras en los más pequeños, y la extensión de escalares tira escalares de alguna otra parte ya tenemos en la mano, la fracción de campo crea fracciones de la estructura existente. Es decir, dada una integral de dominio $R$, formamos pretender fracciones $a/b$ $a,b\in R$ y, a continuación, sujeto a las reglas obvias por ejemplo,$a/b+c/d=(ad+bc)/(cd)$.
Las representaciones de un grupo dado, $G$ sobre un campo $K$ se pueden combinar a través de ya sea directa sumas o tensor de productos, y estos todavía satisfacer la distributividad $(A\oplus B)\otimes C\cong(A\otimes C)\oplus(B\otimes C)$; de esta manera las representaciones de formar un semiring (con la representación trivial como el multiplicativo uno) en el que podemos sumar y multiplicar, pero no tenemos ninguna noción de sustracción que es necesario contar con la buena fe de un anillo. Así que, simplemente, nos podemos pretender restar, y tenemos la representación (aka Verde) anillo de ${\rm Rep}(G)$ (podemos tensor para obtener grandes conjuntos de escalares); los elementos de la resultante de anillo se llaman representaciones virtuales.
De la misma manera, $G$-sets (conjuntos equipado con $G$-acciones) puede multiplicarse a través de los productos Cartesianos y agregado a través de la desunión de la unión, y cuando decimos que podemos restar cosas que obtener el llamado anillo de Burnside (que puede considerarse como un sub-anillo de la representación anillo a través del proceso de alinear $G$-conjuntos en espacios de los que se $G$-reps).
Probablemente más cosas puede ser pensado como fingir-nuevo-cosas-son-verdad-sobre-un-existente-objeto, como dicen directa límites o fibred co-productos, etc. pero esto es lo que viene a la mente.
