Aquí es un boceto de por qué la noción de "$\beta\in B$" es definible en $(L(\omega_1),\in)$ sin parámetros:
Recordar que si $V=L$,$L(\omega_1)=H(\omega_1)$, por lo que el $(L(\omega_1),\in)\models\mathsf{ZF-P}$. Como $\mathsf{HF}\subseteq L(\omega_1)$, que podemos ver en la $L(\omega_1)$ el conjunto de todas las fórmulas(sin parámetros) de la teoría de conjuntos como un cierto conjunto de $F\subseteq \mathsf{HF}$, por ejemplo el uso de la numeración de Gödel. Además existe una fórmula $\Phi(x,y,z)$ sin parámetros tales que para todos los $b\in L(\omega_1)$, $a_1,\ldots,a_n\in b$ y cualquier fórmula $\varphi(x_1,\ldots,x_n)$ de la teoría de conjuntos, la relación $(b,\in\cap b)\models\varphi(a_1,\ldots,a_n)$ mantiene iff la sentencia $\Phi(b,(a_1,\ldots,a_n),\ulcorner\varphi\urcorner)$ que es verdad en $L(\omega_1)$.
Como el conjunto de axiomas de la $\mathsf{ZF-P}$ es recursivo, no es una fórmula $\Psi(x)$ sin parámetros, tales que para cualquier $a\in L(\omega_1)$, $L(\omega_1)\models \Psi(a)$ iff $a\in F$ $a=\ulcorner\varphi\urcorner$ algunos $\varphi\in\mathsf{ZF-P}$.
Ahora considere las siguientes fórmulas:
$\varphi_1(x):=``x$ es un ordinal$"\land\forall y(y=L(x)\longrightarrow\forall z\in y\exists w(``w$ es una fórmula de una variable $t$ sin parámetros$"\land``(y,\in\cap y)\models w(z)\land\exists !tw(t)"))$.
$\varphi_2(x):=``x$ es un ordinal$"\land\forall y(y=L(x)\longrightarrow \forall w(\Psi(w)\longrightarrow``(y,\in\cap y)\models w"))$.
Como las nociones $y=L(x)$ $``w=\ulcorner\phi(t)\urcorner$ para algunos de fórmula $\phi$ de la teoría de conjuntos de una variable $t"$ puede ser expresado en $L(\omega_1)$ con una fórmula sin parámetros, obtenemos que tanto $\varphi_1$ $\varphi_2$ no requieren parámetros.
Por último, observe que $\varphi_1(x)$ dice $ ``x$ es un ordinal y todos los elementos de a $L(x)$ puede ser definida en este modelo sin parámetros$"$, e $\varphi_2(x)$ dice $``x$ es un ordinal y $L(x)$ es un modelo de $\mathsf{ZF-P}"$, por lo tanto para cualquier ordinal $\beta<\omega_1$ $$\beta\in B\Leftrightarrow L(\omega_1)\models\varphi_1(\beta)\land\varphi_2(\beta).$$
Observe que $\gamma:=\sup\{\beta+1:\beta\in B\}$ $L(\alpha)$ $\gamma$ es el menor ordinal $\xi$ tal que $L(\omega_1)\models\neg(\varphi_1(\beta)\land\varphi_2(\beta))$ todos los $\beta\geq\xi$, y por lo tanto $\gamma$ es definible en $L(\omega_1)$ sin parámetros, es decir, $\gamma\in L(\alpha)$.
