¿Cómo mostrar que $6^n$ siempre termina con un $6$ cuando $n\geq 1$ y $n\in\mathbb{N}$?

Question

¿Existe una prueba de que cuando $n$ es un número natural, $$6^n$$ terminará con un $6$?

Puedo entender conceptualmente que $6 \cdot 6$ termina con $6$ y luego multiplicar eso por $6$ seguirá terminando con $6$, pero ¿existe una prueba real?

Answer 1

Probemos por inducción que $6^n$ termina con $6$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

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Primero, muestra que esto es cierto para $n=1$:

$6^1=6$

Segundo, supongamos que esto es cierto para $n$:

$6^n=10k+6$

Tercero, demostremos que esto es cierto para $n+1$:

$6^{n+1}=6\cdot\color{red}{6^n}=6\cdot(\color{red}{10k+6})=60k+36=10(6k+3)+6$

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Por favor, ten en cuenta que la suposición solo se utiliza en la parte marcada en rojo.

Answer 2

Tal como están indicando prácticamente todos, lo que quieres mostrar probablemente sea más fácil de demostrar usando inducción. ¿Estás familiarizado con esta técnica de demostración? Intentaré hacer la prueba lo más clara posible; simplemente comenta si hay algún paso que no tenga sentido.

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Afirmación: Para todo $n\geq 1$, donde $n\in\mathbb{N}$, el número $6^n$ termina en un $6$. Sea $S(n)$ esta afirmación donde tenemos $$ S(n) : 6^n = 10m+6, m\in\mathbb{Z}. $$ Ahora vamos a demostrar que $S(n)$ es cierta para todo $n\geq 1$ utilizando inducción.

Paso base ($n=1$): $S(1)$ dice que $6^1=6$ termina en un $6$ y esto es claramente cierto.

Paso de inducción: Fijemos algún $k\geq 1$ y supongamos que $S(k)$ es cierta donde $$ S(k) : 6^k = 10\ell+6, \ell\in\mathbb{Z}. $$ Ahora debemos demostrar que $S(k+1)$ se sigue donde $$ S(k+1) : 6^{k+1} = 10\eta+6, \eta\in\mathbb{Z}. $$ Comenzando con el lado izquierdo de $S(k+1)$, \begin{align} 6^{k+1} &= 6\cdot 6^k\tag{por definición}\\[0.5em] &= 6(10\ell+6)\tag{por $S(k)$, la hip. ind.}\\[0.5em] &= 60\ell+36\tag{expandir}\\[0.5em] &= 10(6\ell+3)+6\tag{reorganizar}\\[0.5em] &= 10\eta+6, \end{align> terminamos en el lado derecho de $S(k+1)$, completando el paso inductivo.

Por lo tanto, por inducción matemática, la afirmación $S(n)$ es cierta para todo $n\geq 1$. $\blacksquare$

Answer 3

Digamos que $6^n=10k+6$, entonces $6^{n+1}=(10k+6)\times 6=60k+36=10(6k+3)+6$, por lo tanto, siempre termina con "$6", como se muestra de manera inductiva.

Por cierto, la pregunta puede formularse así: Demuestra que $6^n \equiv 6$ (mod $10$).

Answer 4

Mostraremos que si un número $n$ termina en seis entonces $6\cdot n$ también termina en seis. Si $n$ termina con un seis entonces $n=k\cdot10 + 6$ por lo que $6\cdot n = 6k 10+ 36=(6k+3)\cdot10+6$. Esto significa que $6\cdot n$ termina en seis.

Answer 5

Sabemos que $6$ termina en un $6$. Si podemos demostrar que $6^n-6$ es divisible por $10$ para $n\gt1$ estamos listos. $6^n-6=6(6^{n-1}-1)=6(6-1)(\sum_{k=0}^{n-2}6^k)$, lo cual es igual a $30\sum_{k=0}^{n-2}6^k$ para $n\gt1$, y significa que estamos listos.