Rotura espontánea de la simetría: ¿Cómo puede el vacío ser infinitamente degenerado?

Question

En las teorías de campo clásicas, no es difícil imaginar que un sistema tenga un continuo de estados básicos, pero ¿cómo puede ser esto en el caso cuántico?
Supongamos una simetría continua con carga $Q$ se rompe espontáneamente, eso significaría $Q|0\rangle\ne0$ y, por tanto, la transformación de simetría transforma continuamente $|0\rangle$ en otro vacío, pero ¿cómo puede un espacio de Hilbert separable tener un continuo de vacíos diferentes entre sí?

He visto en algún sitio que dice que los estados cuánticos se construyen sobre un vacío, y otros simplemente no pertenecen a él, ¿qué significa esto? y entonces cómo podría $Q$ sea un operador bien definido que actuando sobre un estado (el vacío) da realmente un estado (otro "vacío") fuera del espacio considerado?

Answer 1

Mi entendimiento es que, como usted afirma, estos estados no pertenecen al mismo espacio de hilbert, sino que son formalmente conectados por la transformación de simetría. La esencia es que la degeneración del vacío se expresa en la noción de que hay múltiples estados igualmente adecuados (de espacios hilbert separados) a partir de los cuales se pueden construir estados excitados. La naturaleza elige uno de estos espacios de hilbert equivalentes.

También es útil observar que el operador de carga no está bien definido para volúmenes infinitos y $Q|0\rangle\neq 0$ y en este límite de volumen infinito todas las vacuas son ortogonales entre sí, y por lo tanto formarían parte de una base ortonormal incontable, lo que les prohíbe formar parte de un espacio de hilbert separable por signos.

Puede encontrar más información aquí:

Rotura espontánea de la simetría y bosones de Nambu-Goldstone en sistemas cuánticos de muchos cuerpos (arXiv)