Utilizar $\epsilon-\delta$ definición de límite para probar que $\displaystyle \lim_{x \to 0} x \lfloor \frac{1}{x} \rfloor = 1$.

Question

Yo estaba tratando de escribir algo bonito problemas para la aplicación de $\epsilon-\delta$ definición de darle a mi amigo, pero luego me di cuenta de que no podía resolver algunos de ellos. Este es uno de ellos:

El uso de $\epsilon-\delta$ definición de límite para demostrar que

$$ \lim_{x \to 0} x \lfloor \frac{1}{x} \rfloor = 1$$

Es fácil demostrar que esto es cierto mediante el apriete(sandwich) teorema, pero estoy en busca de un $\epsilon-\delta$ a prueba.

También, un problema similar podría ser:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{[nx]}{n}=x$$

De nuevo, es obvio que esto es verdad, mediante el teorema del sándwich, pero estoy en busca de un elemental de la prueba que utiliza la nada, sino sólo la definición del límite de una secuencia.

Answer 1

Sugerencia: $$ \left|x \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor - 1\right| = \left|x\left(\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor - \frac1x\right)\right| \le |x| = |x-0|$ $

Answer 2

Lo siento, a largo para un comentario, va a eliminar en el futuro. Aquí es exactamente lo que quiero decir con mi comentario.

Supongamos que en algún intervalo $I=(a-b,a+b)$ $a$ tenemos. $$f(x) \leq g(x) \leq h(x) \, \forall x\in I \backslash \{ a \}$$

y el fuera de límites son fáciles, lo que significa que usted puede probar con $\epsilon-\delta$ que $\lim_{x \to a} f(x) =\lim_{x \to a} h(x)= L$. Entonces usted consigue gratis una prueba con $\epsilon-\delta$ que $\lim_{x \to a} g(x)= L$.

De hecho

$$f(x) \leq g(x) \leq h(x) \Rightarrow f(x) -L \leq g(x)-L \leq h(x)-L \Rightarrow $$ $$\left|g(x)-L \right| \leq \max\{ \left| f(x) -L \right| , \left| h(x) -L \right| \} (*)$$

Ahora, elija una $\epsilon >0$, recoger la correspondiente $\delta_1$ $g$ $\delta_2$ $h$ y establezca $\delta = \min \{ \delta_1, \delta_2 \}$. Así

Entonces si $0 < |x-a | < \delta$ $0 < |x-a | < \delta_1$ $0 < |x-a | < \delta_2$

$$ \left| f(x) -L \right| < \epsilon, \left| h(x) -L \right| < \epsilon \,,$$

y si usted conecte estas en $(*)$ está hecho.

Para este problema, la heurística razón por la que creo que, no importa lo que el enfoque es, en si es simple, se trata de un oculto el teorema del sándwich argumento: la forma más sencilla de relacionarse $\lfloor y \rfloor$ $y$para todos los verdaderos $y$ a la vez es $y-1 \leq \lfloor y \rfloor \leq y$. Por otra parte, los límites pueden ser alcanzados, por lo que no se puede mejorar. Pero una vez que lo hace, se convierte en exactamente el argumento que yo incluido.