Algebraicas Intuición para Álgebra Homológica y las Aplicaciones Más Elementales de Álgebra

Question

Me estoy tomando un curso siguiente término en álgebra homológica (utilizando Weibel del texto clásico) y estoy teniendo un tiempo difícil ver a algunos de la gran imagen de la idea detrás de álgebra homológica.

Ahora, este tipo de pregunta se ha hecho muchas veces en los foros como mathoverflow (viz. aquí y aquí) así que, voy a tratar de hacer más específico de lo que me gustaría entender, lo que no está cubierto en cualquiera de las respuestas a estas preguntas. Tengo una (con no pequeña cantidad de la ayuda desde el primer enlace que he publicado) bastante buena intuición para los usos de la homología en la topología, lo que me interesa más es la intuición para el uso de álgebra homológica en "pura álgebra". Quiero entender mejor por qué estudiar lo que estudio en álgebra homológica nos da información valiosa sobre el anillo sobre el que estamos interesados, ¿qué información es exactamente?. Por supuesto, para conmutativa anillos se responda a la pregunta definitiva por Morita del teorema que nos dice que $R\text{-}\mathbf{Mod}$ es categorially equivalente a $S\text{-}\mathbf{Mod}$ implica que el $R$ $S$ son isomorfos como anillos. Bien, puedo ver por qué esto, obviamente, nos da la motivación para el estudio de algunas de las cosas que estudio en álgebra homológica, pero el único problema es que no tengo la intuición de por qué Morita del teorema debe ser cierto. ¿Alguien puede aclarar esto, en los términos más simples posibles?

Mientras esto muy bien puede ser el equivalente a lo que he pedido en el párrafo anterior (si es así, siéntase libre de concatenar respuestas) me preguntaba si alguien podría explicar en mayor detalle Eisenbud la analogía de que el álgebra homológica es el anillo de la teoría como teoría de la representación es a la teoría de grupos (en su propia opinión, yo sé que usted no sabe lo que estaba pensando).

Por último, para mí, para conseguir una motivación básica/intuición es necesario para mí para ver lo poderoso que un sujeto $X$ puede ser, en el sentido de que puede responder a las preguntas que (aparentemente!) no tienen nada que ver con el asunto $X$. El clásico ejemplo del teorema de Burnside no tiene nada que ver directamente con la teoría de la representación (no hay ningún uso de carácter teórico de la lengua en su declaración) sin embargo, la única "simple" prueba utiliza el carácter de la teoría. Por desgracia, en el reino de la pura álgebra he sido capaz de encontrar muy pocos ejemplos de tales usos de álgebra homológica--la única excepción de la Schur-Zassenhaus teorema. Por lo tanto, cualquier (primaria sea posible) las aplicaciones de álgebra homológica a los problemas más elementales de álgebra (teoría de grupos, el módulo de teoría, anillo de la teoría, y en cierta medida [pero preferiblemente menos] álgebra conmutativa), donde la declaraciones parecería sugerir que la prueba podría ser auto-contenida, sin embargo, de manera realista requiere álgebra homológica sería genial.

Muchas gracias amigos, ayudar con alguna de estas preguntas sería recorrer un LARGO camino para ayudar a un muy emocionado y con ganas estudiante de álgebra homológica.

Answer 1

Ciertamente, yo no voy a tratar de dar un general filosófico respuesta a su pregunta, pero voy a hablar de una historia de éxito que convenció a los especialistas de que el álgebra homológica fue un increíblemente potente herramienta en el álgebra conmutativa.

Auslander, Buchsbaum y Serre demostrado que un local noetherian anillo es regular si y sólo si tiene finita dimensión global.
A partir de esto es fácil deducir que la localización en un primer ideal de un anillo local regular todavía es regular.
La declaración de que el resultado no tiene nada que ver con el álgebra homológica, pero ya que nadie había logrado demostrar que antes, sin álgebra homológica, esta debidamente impresionado algebraists.

Opcional tecnicismos
Permítanme darles algunas definiciones relevantes aquí.
Un noetherian anillo local $(R,\mathfrak m)$ se llama regular si su máxima ideal puede ser generado por $dim (A)$ (=dimensión de Krull de $A$) de los elementos.
Esta definición, debido a Zariski, es puramente algebraico forma de asegurar que una variedad algebraica no tiene singularidades.
La dimensión global del anillo de $A$ es el supremum de las dimensiones proyectivas $pd_AM$ de sus módulos,$M$.
Y $pd_AM$ es el infimum de las longitudes de las resoluciones $0\to P_n\to...\to P_0\to M\to0$ $M$ por proyectiva $A$-módulos de $P_i$.

Answer 2

Anillos aparecen en la naturaleza, la mayoría de las veces, a través de sus representaciones, es decir, de sus módulos. Los módulos son lo que se ve de un anillo experimentalmente.

Si dos anillos tienen equivalente categorías de módulos, a continuación, que son indistinguibles en que se les puede decir aparte de mirar sus módulos. La mayoría de las cosas interesantes que usted quiere saber acerca de los anillos son cosas que usted puede aprender acerca de lo que buscan en sus módulos: por lo tanto, es muy natural que los dos Morita equivalente anillos de compartir, para la mayor parte, un montón de propiedades.

En particular, usted puede calcular el centro de un anillo a partir del conocimiento de sus módulos solos (y los mapas entre ellos) y uno puede fácilmente comprobar, a continuación, que dos Morita equivalente anillos isomorfos centro. En el caso especial en el que los dos anillos son conmutativas, de modo que coincidan con sus centros, entonces es isomorfo, como usted dice.

Answer 3

Yo no tengo la intuición de por qué Morita del teorema debe ser cierto. ¿Alguien puede aclarar esto, en los términos más simples posibles?

Mariano dice, este es un caso especial de una más general de los resultados, es decir, que el centro de $Z(R)$ de un anillo puede ser calculada a partir de la categoría de módulos. En primer lugar tenemos la siguiente definición general: si $C$ es una categoría, su centro $Z(C)$ es el monoid natural de las transformaciones de la identidad functor $\text{id}_C : C \to C$ a sí mismo. Escrito de forma más explícita, los elementos del centro son colecciones de morfismos $\eta_x : x \to x$ ($x$ un objeto de $C$) tal que para cada morfismos $f : x \to y$, tenemos $$\eta_y \circ f = f \circ \eta_x.$$

En particular, cada una de las $\eta_x$ debe ser un elemento de $Z(\text{End}(x))$, y esta condición necesaria es suficiente cuando se $C$ tiene un solo objeto. Por lo que el centro de una categoría es un conmutativa monoid que generaliza el centro de un monoid, y si pensamos en los anillos como un objeto categorías enriqueció a lo largo de abelian grupos $\text{Ab}$ (esto solo significa que el Hom-conjuntos de abelian grupos y la composición es bilineal), entonces el centro de una $\text{Ab}$enriquecido categoría es un anillo conmutativo que generaliza el centro de un anillo.

Resumiendo, el centro de una categoría se compone de familias naturales de endomorphisms de sus objetos, y connaturalidad implica en particular que cada endomorfismo es central.

Ahora, resulta que el centro de $R\text{-Mod}$ aún $Z(R)$, del que se desprende que el centro de un anillo es un Morita invariante. Debe quedar claro que cada elemento de a $Z(R)$ define una familia natural de endomorphisms de $R$-los módulos, así que lo único que muestran es la otra inclusión, y de esto se deduce del hecho de que un elemento de el centro de una categoría está determinada por lo que hace a un generador; para un total de argumento de ver esta entrada de blog.

Answer 4

Una famosa aplicación de álgebra homológica es la topología algebraica. Desempeña un papel clave allí, donde, de hecho, surgió originalmente. La más elemental ejemplo de esto es que los términos de referencia y Ext functors aparece visiblemente en el Universal Coeficiente de Teoremas, pero álgebra homológica es realmente esencial para la topología.

McCleary el libro sobre espectral de secuencias es un gran lugar para encontrar información acerca de esto-es no entrar en muchos de los desagradables, difíciles detalles técnicos, pero uno siempre se puede obtener por la lectura de la primera sección de cada capítulo!

Answer 5

Otro éxito de álgebra homológica es el estándar de prueba de la Primera Brauer-Thrall conjetura:

Teorema. (Roiter 1968) de Un número finito de dimensiones álgebra a través de una algebraicamente cerrado campo es la representación finita o admite indecomposable módulos de dimensión arbitraria.⁽¹⁾

Esta declaración es, en principio, bastante independiente de álgebra homológica, sin embargo, nos demuestran que usando lo que se llama de Auslander-Reiten teoría, que está en su corazón álgebra homológica (no sé qué Roiter del argumento)

⁽¹⁾ Esta no es la declaración más general conocido para ser verdad