Supongamos que $V_\mathbb{F_V}$ y $W_\mathbb{F_W}$ son dos espacios vectoriales sobre campos $\mathbb{F}_V$ y $\mathbb{F}_W$ . Entonces un homomorfismo de estos espacios vectoriales consiste en mapas $f:V\rightarrow W$ y $f_\mathbb{F}:\mathbb{F}_V\rightarrow \mathbb{F}_W$ satisfactorio: $$ f\left(a.v+b.u\right)= f_{\mathbb{F}}\left(a\right)f\left(v\right)+f_{\mathbb{F}}\left(b\right)f\left(u\right) $$ para todos $a,b \in \mathbb{F}_V$ y $v,u \in V$ . Con tales morfismos podemos hablar de la categoría de todos los espacios vectoriales sobre campos arbitrarios. Pero, nunca he visto tales ejemplos. ¿Por qué? ¿Es porque la categoría de campos no es muy bienvenida a de un lugar.
Respuestas
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En efecto, existe una categoría de todo espacios vectoriales con morfismos como los que describes. Tiene muchas propiedades interesantes: en primer lugar, fíjate en que viene equipado con una proyección a la categoría de todos los campos, $p : \textbf{Vect} \to \textbf{Fld}$ . Dejemos que $\textbf{Vect}(K)$ sea la subcategoría no completa de $\textbf{Vect}$ de objetos $V$ tal que $p V = K$ y morfismos $f$ tal que $p f = \textrm{id}_K$ . Se ve fácilmente que es isomorfa a la categoría habitual de $K$ -espacios vectoriales. Dado cualquier homomorfismo de campo $\phi : K \to L$ obtenemos un functor $\phi^\sharp : \textbf{Vect}(L) \to \textbf{Vect}(K)$ y no es difícil comprobar que la operación $(-)^\sharp$ es estrictamente funcional. La categoría $\textbf{Vect}$ se ve entonces que es el Construcción de Grothendieck aplicado a $(-)^\sharp$ y por lo tanto $p : \textbf{Vect} \to \textbf{Fld}$ es una fibración de Grothendieck.
¿Por qué es interesante? Bueno, nos da una forma de considerar los espacios vectoriales sobre todos los campos en igualdad de condiciones, y la propiedad universal de algunas construcciones conocidas se expresa mejor en términos de esta fibración de Grothendieck. Por ejemplo, si $W$ es un $L$ -espacio vectorial, entonces $\phi^\sharp W$ es un $K$ -espacio vectorial $V$ y un morfismo $f : V \to W$ que se encuentra encima de $\phi : K \to L$ tal que para todos los morfismos $h : U \to W$ en $\textbf{Vect}$ que se encuentra encima de $\chi : F \to L$ en $\textbf{Fld}$ y todas las factorizaciones $\chi = \phi \circ \psi$ existe un morfismo único $g : U \to W$ que se encuentra encima de $\psi : F \to K$ tal que $h = g \circ f$ . Si dibujas el diagrama verás que esta es básicamente la propiedad universal de un pullback, pero aquí hay dos categorías diferentes.
Por otro lado, $\phi^\sharp : \textbf{Vect}(L) \to \textbf{Vect}(K)$ tiene un adjunto izquierdo bien conocido $\phi_\sharp : \textbf{Vect}(K) \to \textbf{Vect}(L)$ , es decir, el producto tensorial $\phi_\sharp V = L \otimes_K V$ . Esto hace que $p : \textbf{Vect} \to \textbf{Fld}$ en una bifibración de Grothendieck, y de nuevo esto significa $\phi_\sharp V$ puede describirse en términos de una propiedad universal.
Tiene usted razón en que $\textbf{Fld}$ no es una categoría con propiedades particularmente buenas - y desafortunadamente eso significa $\textbf{Vect}$ también carece de las mismas propiedades. Por ejemplo, no hay ningún objeto terminal en ninguno de los dos $\textbf{Fld}$ o $\textbf{Vect}$ . En este sentido, la categoría $\textbf{Mod}$ de todo módulos sobre todo los anillos conmutativos se comportan mejor. $\textbf{Mod}$ tiene algunas propiedades notables: además de ser una bifibración de Grothendieck, (o más bien $\textbf{Mod}^\textrm{op}$ ) es lo que se conoce como pila para la topología fielmente plana en $\textbf{CRing}^\textrm{op}$ . Esto se estudia en profundidad en SGA1 y es el ejemplo que motiva toda la teoría de las categorías fibradas en general.
rschwieb
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Bueno, podrás hablar de morfismos entre espacios vectoriales sobre diferentes campos siempre que pienses en una categoría en la que esos espacios vectoriales coexistan como objetos :)
Hay algo similar (y algo importante) para los anillos semisimples. Lo hago de memoria a partir del texto BA2 de Jacobson, así que espero no estar muy lejos de la afirmación correcta.
Creo que la pregunta es: Para espacios vectoriales de dimensión finita $V_F$ y $W_{F'}$ Si $End(V_F)\cong End(W_{F'})$ como anillos, ¿qué puede concluir sobre la relación de $V_F$ a $W_{F'}$ ?
La respuesta es que $V$ y $W$ son semilinealmente isomorfo que es una generalización de un isomorfismo lineal. Puede que te interesen las transformaciones semilineales :)
Hagen von Eitzen
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Sus condiciones implican que $F_V$ puede considerarse un subcampo de $F_W$ y a través de eso $W$ es un $F_V$ -y el espacio vectorial $f$ es $F_V$ -lineal. Por ejemplo, nada impide considerar los mapas lineales del espacio vectorial real $C([0,1])$ de función continua en el intervalo $[0,1]$ al espacio vectorial complejo $\mathbb C^{42}$ . Pero lo que se obtiene es lo mismo que si se considera $\mathbb C^{42}$ así como $\mathbb R^{84}$ .
