Cómo calcular los porcentajes de integración $\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{(2-\cos{x})^2}$

Question

Dado que \int_{0}^{\pi}\frac{dx}{2-\cos{x}}=\frac{\pi}{\sqrt{a^2-1 $$}} $$

Cómo calcular la integral \int_{0}^{\pi}\frac{dx $$} {(2-\cos {x}) ^ 2} $

Answer 1

Tenemos $$ \mathcal{I} (a) = \int_0^ {\large\pi} \frac{d\theta}{a-\cos\theta}=\frac{\pi}{\sqrt{a^2-1}}, $$ entonces diferenciar ambos lados con respecto a $a$, obtendrá $$ \mathcal{I}'(a) = \int_0^ {\large\pi} \frac{d\theta} {(a-\cos\theta) ^ 2} = \frac {a\pi} {(a ^ 2-1) ^ {\large\frac32}}. $$