Estructura de anillo de las unidades de orden$2$ en un orden monogénico?

Question

Un hombre sabio una vez me dijo lo siguiente:

Sea$f\in\mathbb{Z}[X]$ monic y let$R=\mathbb{Z}[X]/(f)$, de modo que$(R,+,\times)$ es un anillo. Sea$$U=\{u\in R\mid u^2=1\}.$ $ Then$(U,\times,\star)$ es un anillo, con la multiplicación satisfaciendo$$u\star v=w\star x\quad\Leftrightarrow\quad\ (1-u)(1-v)=(1-w)(1-x).$ $

No tengo la menor idea de cómo$\star$ podría ser definido. ¿Algunas ideas?

Answer 1

Lo lógico es definir $u \star v = (1-u)(1-v)$. Este cumple la condición anterior, pero, por desgracia, no funciona: Esta $\star$ es conmutativa y asociativa, pero no distribuir sobre el original $\times$$R$. Sin embargo, sí sugiere que podría ser capaz de modificar esta definición ligeramente.

Comenzando con la última condición, si usted toma $u=w=1$, entonces la condición implica que $1 \star v = 1 \star x$ todos los $v,x$, por lo que claramente el original de 1 en el anillo debe ser la identidad aditiva en el nuevo anillo. Más aún si se considera el caso de $f=x$,$U = \{1,-1\}$, lo que sugiere que el original -1 debe ser la identidad multiplicativa en el nuevo anillo. En otras palabras, debemos tener $(-1) \star v = v$ todos los $v$, lo que sugiere la definición de $$u \star v = \frac{2-(1-u)(1-v)}{2}.$$

Desde $x \mapsto (2-x)/2$ es un bijection en $R$, esto todavía cumple la condición anterior, y se puede comprobar que esto no distribuir más de $\times$, y es conmutativa y asociativa.