$ K(G)=3 \Longrightarrow G\cong\mathbb Z_3\ \mathrm{or} \ G\cong S_3$

Question

De acuerdo a J. S. Rose libro "Un Curso sobre Teoría de grupos":

En la clase de ecuación $$|G|=\sum_{i=1}^k|G:C_G(x_i)|$$ where $x_1,x_2,...,x_k\in G$ one from each of above $k$ classes; $K(G)$ is called the class number of $G$.

Ahora quiero verificar:

$$ K(G)=3 \Longrightarrow G\cong\mathbb Z_3\ \mathrm{or} \ G\cong S_3$$

Si $K(G)=3$ entonces veo $|Z(G)|=1$, $|Z(G)|=2$ o $|Z(G)|=3$. $|Z(G)|=3$ lleva $G$ a ser abelian así que he a $G\cong\mathbb Z_3$. Si $|Z(G)|=2$ por lo que tienen un elemento, decir $x$, $G$ que no pertenecen a su centro. Por lo tanto, $d=|G:C_G(x)|\big|\ |G|$ $d=1$ o $d=2$. Para mí está claro que estos dos contradicciones. Me veo a mí mismo muy cerca de $S_3$ al $|Z(G)|=1$. Por favor, si estoy en un camino correcto que me ayude sobre la elección final $|Z(G)|=1$. Gracias

Answer 1

Si$|Z(G)|=1$, entonces la ecuación de la clase se reduce a$1=\frac{1}{|G|}+ \frac{1}{|C_G(x)|}+\frac{1}{|C_G(y)|}$.

Si$C_G(x)|,|C_G(y)|\geq 3$, entonces como$C_G(x)\lneq G$, el RHS es menor que$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$, una contradicción.

Supongamos que$|C_G(x)|=2$. Ahora,$|G|=k.|C_G(y)|$ para algunos$k>1$. Entonces, encima de la ecuación se reduce a

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org De ahí$\frac{1}{2}=\frac{1}{k|C_G(y)|}+\frac{1}{|C_G(y)|}=\frac{k+1}{k}\frac{1}{|C_G(y)|}$ y es entero; Es decir$|C_G(y)|=\frac{2(k+1)}{k}$.

Ahora, si$k|2(k+1)$, entonces$k>2$; Por lo tanto$2k+2<2k+k=3k$, ambos conducen a la contradicción.

Por lo tanto,$2(k+1)\in \{k,2k\}$, y$k=2$.

En la primera ecuación, deducimos$|C_G(y)|=3$. Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org