Deje $K$ ser un campo arbitrario, $p$ un primer y $a\in K$. Espectáculo $f=x^p-a$ es irreducible en $K[x]$ o tiene una raíz en $K$.
Mi estrategia fue la de dividir esto en un caso para cada característica.
La característica $p$ de los casos es fácil. Suponga $f$ es reducible $=gh$ tanto menor grado $g$ irreductible, con $\alpha$ a raíz de la $g$. A continuación, en $K(\alpha)[x]$, $f=(x-\alpha)^p$. Por lo $g=(x-\alpha)^k$, y el resto de factores de $f$ son de la misma forma. Por lo tanto todas son iguales a la $minpoly(\alpha)$ y el grado de $minpoly(\alpha)|p$, por lo que es $1$ o $p$ y hemos terminado.
La característica $0$ de los casos y característicos $q\ne p$ me quedo atascado. Si $K$ contiene una primitiva $p$th raíz de la unidad $\zeta$, luego de más de $K(\alpha)$, $f$ se divide en factores lineales. Así que el grado de la extensión de campo para cualquier raíz de $f$ es el mismo, por lo que el grado de una raíz es $1$ o $p$. Si $K$ no tiene una primitiva $p$th raíz de la unidad, a continuación, simplemente se acuestan. Sabemos $[K(\zeta):K]|p-1$, y en el paso anterior, cualquiera de las $f$ es irreducible sobre $K(\zeta)$ o se divide en factores lineales. Si es irreducible hemos terminado, si no la tenemos se divide en factores lineales de la forma $x-\zeta^ia^{1/p}$, pero estoy seguro de qué hacer a partir de aquí. La característica $q$ caso parece similar a la característica $0$ de los casos, pero de nuevo estoy atascado tratando de terminar la prueba.
Buscar un poco en google me ha llevado a creer que este problema es generalmente se acercó con el ámbito de la norma y si accesible en línea de referencia existe, me gustaría ver, pero tengo la sensación de que en el contexto que he visto debe ser enteramente posible que esto se hace sin necesidad de la norma. Como no he visto el campo de la norma antes, me gustaría saber si hay una forma posible de demostrar esta sin usar y esperemos que sigue en la misma vena de mi intento en una prueba que hizo.
