Este primer borrador ofrece los principales componentes de lo que podría ser una "solución cercana". A medida que se vaya editando más adelante, es de esperar que se pueda (y se haga) un argumento convincente. Este intento de solución aún no ha sido muy revisado, por lo que podría acabar no estando tan cerca de una solución.
Las ediciones futuras podrían incluir un programa informático aún no escrito que utilizaría los resultados de esta solución para calcular la superficie necesaria dado un conjunto de parámetros de entrada.
Las futuras ediciones también podrían incluir gráficos (si no un generador de imágenes en tiempo real) y utilizar látex o lo que sea que se utilice en math.stackoverflow.com para mejorar la apariencia.
Las críticas son bienvenidas. Las pruebas de abajo son adhoc y pueden ser mejoradas.
El problema:
Determina el área de la superficie, S, en 3 espacios: S se superpone a una esfera de radio R centrada en el origen. Además, S se limita a la intersección de esta esfera con lo siguiente: los planos xy, xz e yz de Cartezian (por lo que S se encuentra enteramente dentro del octante (+,+,+)), así como otros dos planos, paralelos entre sí, separados por una distancia h, y donde uno de los planos, P0, pasa por el origen. Dependiendo de la orientación de P0, el otro plano paralelo delimitador, P1, puede estar "por debajo" o "por encima" de él. P0 no se solapa con los planos xy, xz o yz. Una solución completa incluiría restricciones adecuadas sobre h y sobre cualquier otra variable para que existan dos de estos planos paralelos que toquen S.
La solución no intenta encontrar una forma reducida para varios términos. Por favor, comente si observa simplificaciones que no se han llevado a cabo.
Solución:
Dado que tenemos que tratar tanto con una entidad esférica como con una plana, el sistema de coordenadas elegido es un sistema de coordenadas carteziano derecho en 3 dimensiones. [Esto puede no ser ideal].
P0 se define con constantes arbitrarias, A, B y C: Ax + By + Cz = 0
Se define P1: A'x + B'y + C'z = D'
Como P1 es paralelo a P0, A' = A, B' = B, C' = C. [no demostrado]
El primer paso significativo:
Para resolver D' [y puede haber una forma mucho mejor de hacerlo], observamos que P1 es tangente a una esfera de radio h centrada en el origen. [La prueba de la existencia de este punto tangente se deja para una edición posterior].
Resolvemos el punto tangente, etiquetado (x,y,z) a continuación para mantener el desorden (en lugar de (x0, y0, z0)).
En primer lugar, calculemos algunas derivadas parciales de la esfera (mostradas usando la notación d por ahora) dz/dy dz/dx y dy/dx [todo: usar en su lugar dz/dy, dy/dx, y dx/dz para (quizás) preservar la simetría en la solución de D'].
Para x^2 + y^2 + z^2 = h^2,
dy/dx = -x/(sqrt(h^2-x^2-z^2))
dz/dy = -y/(sqrt(h^2-x^2-y^2))
dz/dx = -x/(sqrt(h^2-x^2-y^2))
Estos cambios lineales en las direcciones dadas coincidirán con las correspondientes "pendientes" de P1.
Para Ax + By + Cz + D',
dy/dx = -A/B
dz/dy = -B/C
dz/dx = -A/C
A partir de esto podemos encontrar (x,y,z). Después de igualar los pares correspondientes de estas 6 ecuaciones, quitar los denominadores y elevar al cuadrado:
(B^2)(x^2) = A^2(h^2-x^2-z^2)
(C^2)(x^2) = A^2(h^2-x^2-y^2)
(C^2)(y^2) = B^2(h^2-x^2-y^2)
Moviendo los términos, queda más claro que tenemos un sistema de 3 ecuaciones lineales en x^2, y^2 y z^2
(A^2+B^2)x^2 + 0 + (A^2)z^2 = (A^2)(h^2)
(A^2+C^2)x^2 + (A^2)y^2 + 0 = (A^2)(h^2)
(B^2)x^2 + (C^2+B^2)y^2 + 0 = (B^2)(h^2)
Resolviendo mediante la regla de Cramer [detalles en la edición posterior].. y nótese la asimetría [todo: ¿he cometido un error arriba o es simplemente una consecuencia de romper la simetría al no usar dx/dz?]
x^2 = ( (h^2)(A^2)(C^2) ) / ( (A^2+C^2)(C^2+B^2) )
y^2 = ( (h^2)(B^2) ) / (C^2+B^2)
z^2 = ( (h^2) ((A^2)(B^2)+(C^4)) ) / ( (A^2+C^2)(C^2+B^2) )
Cuando saquemos las raíces cuadradas, tendremos que determinar si se requiere + o -. [todo: aún no estoy seguro de qué + o - se toma para cada una de las x, y y z, pero un conjunto corresponde a un plano "por debajo" de P0 y otro a uno "por encima". Puede que tengamos que averiguar o no el + o el - de esta manera]
Para enfatizar, utilicemos x0, y0 y z0:
x0 = +- ( (h)(A)(C) ) / (sqrt( (A^2+C^2)(C^2+B^2) ))
y0 = +- ( (h)(B) ) / (sqrt( (C^2+B^2) ))
z0 = +- ( (h) sqrt((A^2)(B^2)+(C^4)) ) / (sqrt( (A^2+C^2)(C^2+B^2) ))
Conociendo el punto de tangencia, podemos calcular D'
D' = A(x0) + B(y0) + C(z0)
De aquí en adelante, sólo usaremos D' (o D) pero sabiendo que se ha resuelto en términos de A, B, C y h.
El segundo paso significativo:
Tendremos que encontrar el punto de intersección de los planos paralelos con la esfera de radio R (+,+,+).
Pero primero crearemos las tiras y la suma que se aproximará a la superficie.
Elegiremos las franjas que se aproximan a S de la siguiente manera. Cada franja es aproximadamente la intersección de un anillo muy fino (a lo largo de un círculo menor) de la intersección de la esfera con S. Estos anillos son paralelos al plano yz (por tanto, a lo largo del eje x). El área de un anillo puede verse como la diferencia de área del lado de dos conos similares siendo la altura de uno de ellos H + delta x y la del otro H. Cada una de estas franjas (anillos) corresponderá a un par de conos que serían tangentes en el valor x central de esa franja. Las franjas adyacentes comparten un lado. Una construcción similar puede hacerse en el interior de la esfera donde las franjas son secciones de planos secantes que se encuentran enteramente dentro de la esfera.
Obsérvese que la suma de las franjas exteriores puede no formar un límite superior a la superficie de S. Se supone por el momento que a medida que la anchura de la franja (delta x) llega a 0, la suma de sus áreas se acerca arbitrariamente al área de S y nos da nuestra respuesta. Hay que rehacer esta construcción y este argumento. Una edición posterior puede establecer todo cuidadosamente y tratar de demostrar este paso final como una integral de Riemann. Puede que la integral (y la serie) no se reduzcan del todo, pero la serie que comprende la suma de Riemann puede codificarse directamente en un algoritmo informático para producir una respuesta que ojalá se acerque arbitrariamente al resultado exacto.
Mi experiencia, muy limitada, es que si desarrollamos una suma de Riemann que para infinitesimales tenga cada área componente aproximada al área exacta de la región plana (plana) tangente al trozo de superficie que se está aproximando, entonces el formalismo que lleva a la integral será posible de llevar a cabo (lo llevemos a cabo en nuestra demostración o no). Nótese el siguiente problema .
continuando por el momento...
Los puntos finales de cada franja están definidos por el lugar donde los dos planos paralelos se cruzan con la esfera.
En lugar de calcular las áreas de los conos y restar [tarea: reconsiderar dicho cálculo de los conos y comparar]. Supondremos [sin pruebas por el momento] que el área de cada una de esas franjas planas y circulares es igual al área de una franja rectangular con
anchura = delta s
altura = (r)(alfa1 - alfa0)
Vemos esto último porque
altura = longitud de arco del círculo menor
\= 2(pi)(r) ( (alpha1-alpha0)/(2(pi))
También observamos que delta s no es igual a delta x, ya que las tiras del anillo están inclinadas en un ángulo que coincide con la pendiente de la esfera en ese círculo menor correspondiente a x. Las pendientes precisas dependen también de y, pero aquí hay una simetría importante (véase la referencia a la forma del cono). Así que el delta s es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con delta x como uno de los lados y delta r como el otro.
Estas alfas, en radianes, son los valores de los ángulos tomados desde el centro del círculo menor implícito (es decir, el ángulo formado en el eje x por los rayos que van hacia la superficie de la esfera). Un valor de alfa de cero correspondería al punto en el que cada rayo se superpone y se encuentra en el plano xy. Cuando un rayo está en el plano xy y el otro en el plano xz, tenemos pi/2. Recordemos que estos puntos que definen uno de los rayos que forman un par, uno para alfa1 y otro para alfa0, para una franja determinada (es decir, en una x determinada), provienen de la intersección, respectivamente, de P1 y P0 (en esa x) con la esfera. [Estos dos valores de alfa se calcularán en la tercera sección].
¿Por qué seleccionamos las franjas de esta manera (es decir, cortes de la esfera paralelos al plano yz)? Porque la longitud y la anchura de cada franja pueden calcularse fácilmente. Cada una de estas longitudes es una sección del perímetro de un círculo menor de la esfera por lo que podemos evitar hacer un segundo límite/suma para calcular sus longitudes puesto que ya conocemos las longitudes de los círculos. También podemos expresar tanto la anchura como la longitud de cada franja en términos de x. Esto deja que la integral completa (es decir, el límite de la suma de las franjas) exprese el área de S como una función de x solamente (no de y o z).
El radio del círculo menor: r = sqrt(R^2-x^2)
La anchura: (delta s)^2 = (delta r)^2+(delta x)^2
delta r (una constante para cada anillo que es igual a la distancia radial desde el eje x hasta el extremo más largo de la tira - la distancia desde el eje x hasta el extremo más corto) es igual a delta z cuando miramos donde esos anillos se cruzan con el plano xz.
(delta s)^2 = (delta z)^2+(delta x)^2
En este plano xz, vemos que
(delta z) / (delta x) = dz/dx
De la ecuación de la esfera, con y=0, z=sqrt(R^2-x^2)
dz/dx = x / (sqrt(R^2-x^2))
delta z = x (delta x) / (sqrt(R^2-x^2))
Así que
(delta s)^2 = (x^2(delta x)^2)/(R^2-x^2) + (delta x)^2
\= (delta x)^2 ( (x^2+1)/(R^2-x^2) )
delta s = (delta x) (sqrt( (x^2+1)/(R^2-x^2) ))
Por lo tanto, el área del rectángulo que es igual al área de la tira circular correspondiente:
área de la banda = [delta s] [r] [alpha1 - alpha0]
\= [ (delta x) (sqrt( (x^2+1)/(R^2-x^2) )) ] [sqrt(R^2-x^2)] [alpha1 - alpha0]
El área total de todas las franjas es la SUMA de x=0 a R de todas estas franjas anteriores.
Esto se traslada a la integral, x=0 a x=R, de [(sqrt( (x^2+1)/(R^2-x^2) )) ] [sqrt(R^2-x^2)] [alpha1 - alpha0], a medida que delta x va a cero.
El tercer paso significativo:
alpha0 y alpha1 se calcularán ahora como funciones de x.
Los pasos serán añadidos en una edición posterior, pero aquí es cómo resolvemos esto:
Tomamos la ecuación de la esfera y la ecuación de cada plano. P0 resuelve para alfa0 y P1 resuelve para alfa1. Los pasos de estos dos se imitan entre sí.
Combinando estas dos ecuaciones, obtenemos una cuadrática en z y una cuadrática en y (que se mimetizan entre sí), donde x se trata como una constante dentro de estas cuadráticas. Resolvemos estas cuadráticas.
Entonces,
alpha0 = una bifurcación de dos partes: { arctan (solución de la cuadrática z / solución de la cuadrática y), si la solución de la cuadrática z > 0 y la solución de la cuadrática y > 0; 0, en caso contrario }
Si todo se ha hecho bien, podremos demostrar que las soluciones de y y z cuadráticas pueden ser complejas para valores de A, B, C y x en los que el P0 no interseca a la esfera en esa x, pero la solución tendrá por lo demás un valor positivo y otro negativo. Sólo el positivo es útil dentro del octante +,+,+. [x se elevará al cuadrado dentro de cada uno de estos pares de soluciones cuadráticas, lo que significa que una solución corresponde a valores negativos de x y otra a valores positivos de x].
El valor de h y el hecho de que consideremos el plano "por encima" o el plano "por debajo" de P0 también juega un papel aquí (es decir, para algunos h, A, B y C, podríamos tener que considerar el plano "por encima" o bien el plano "por debajo", etiquetado como P1 en cada caso pero diferenciado por el valor +- de x0,y0,z0 calculado y discutido anteriormente).
alpha1 es similar (calculado usando las eqns de P1 que tiene D') pero en lugar de "0, si no" obtenemos "pi/2, si no"
Ahora, sólo vamos a enumerar las soluciones de y para alpha1 (dejando los detalles para su posterior edición). Las soluciones y para alpha0 se pueden encontrar sustituyendo D por 0. Además, las soluciones z son idénticas a las correspondientes soluciones y pero tienen B y C invertidas.
y solns utilizados para calcular alpha1 = [-b+-sqrt(b^2-4ac)] / 2a
a = 1 + (B^2/C^2) b = (2Bx/C) (Ax/C-D) c = x^2 - R^2 + (Ax/C-D)^2
...
Bueno, hay muchos detalles que hay que limpiar (y tal vez cambiar por completo) y que hay que rellenar, pero supuestamente hemos encontrado la expresión integral que daría la superficie deseada. Esta expresión integral depende de las constantes A, B, C, h, y R y también de la variable de integración x. Se podría utilizar un algoritmo informático para aproximar esta superficie basándose en la suma de Riemann descrita y utilizando un pequeño paso delta x. Esperemos que tal programa informático también se proporcione en una futura edición.
