Construya una función que no se puede diferenciar en ninguna parte.

Question

He estado trabajando en esto por un tiempo muy largo ahora y parecen haber llegado a un callejón sin salida, voy a mostrar todos mis intentos de soluciones, y cualquier ayuda en las distintas partes de la pregunta sería muy apreciada.

Ahora para la Parte $(a)$, los gráficos que tengo son los siguientes ; $f_{0}(x)=\sum_{r=0}^{0}2^{-r}K(2^{r}x)$:

$f_{1}(x)=\sum_{r=0}^{1}2^{-r}K(2^{r}x)$

$f_{2}(x)=\sum_{r=0}^{2}2^{-r}K(2^{r}x)$

$f_{3}(x)=\sum_{r=0}^{3}2^{-r}K(2^{r}x)$

$f_{10}(x)=\sum_{r=0}^{10}2^{-r}K(2^{r}x)$

Ahora es obvio que el mayor $n$ convertido en el más complicado y horrible aspecto $f_{n}$ vuelve, y me parece muy discontinuo, aunque sé que es continua,
Para $(b)$
Me siento bastante perdido en cuanto a cómo abordar esto, he tratado de descifrar la pista , ahora si $f_{n_{0}}$ es continua, por definición

Para todos $\epsilon>0$ $\exists$ $\delta>0$ tal que $|x-c|<\delta$ implica $|\sum_{r=0}^{n_{0}}2^{-r}K(2^{r}x)-\sum_{r=0}^{n_{0}}2^{-r}K(2^{r}c)|<\epsilon$
Ahora no sé cómo ir más allá de incorporar la sugerencia.

Answer 1

Sus funciones$f_n$ no son discontinuas, deberían ser similares a$n=0,1,2,10$:

Edit: Su función es muy similar a la famosa función Blancmange , vea aquí una prueba de continuidad, que también podría ayudarle en su caso.

Answer 2

Debe haber algo mal con la forma en que generar sus gráficos. Los de$f_1$ upto$f_{10}$ están equivocados.

Por ejemplo, ya para$f_1$ algo sale mal cuando la gráfica muestra$f_1(\frac12)= 1$. Debe ser$\frac12$ porque$$ f_1(\tfrac12) = K(\tfrac12)+2^{-1}K(2^1\times \tfrac12) = K(\tfrac12) = \tfrac12 $ $ porque$K(1)=0$ para que el segundo término desaparezca.

Tal vez has mal escrito algo tal que la definición by-cases de$K(2^rx)$ prueba la parte fraccionaria de$x$ en lugar de la parte fraccionaria de$2^rx$?

Answer 3

Si usted utiliza su primera función, f0, y en lugar de hacer que se vea interrumpido. Hacer pequeños intervalos, hacer su intervalos tan pequeños, obtendrá algo como esto:

lim                
interval --> 0

De esta manera se obtiene el mismo que en f0, pero mirándolo desde muy lejos (zoom out). A continuación, su función es todavía continua, pero no puede ser diferenciado, supongo.

Lo siento, no puedo dar una respuesta muy concreta, realmente no entiendo su función (todavía estoy en la secundaria), sin embargo, espero que usted consigue mi punto de uso extremadamente pequeños intervalos.

Answer 4

Si quieres una función que es continua en todas partes pero diferenciable en ninguna parte básicamente estás hablando de un fractal. Aquí está un copo de nieve especial y único:

Http://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake