Aquí está uno de mis favoritos de los contra-ejemplos para cuando usted no asume que la secuencia de $(|a_n|)$ está disminuyendo. Pongamos, para todos los $n \geq 2$,
$$a_n := \ln \left( 1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right).$$
Esta secuencia converge a $0$, y es alterna. Sin embargo, desde \ln (1+x) = $x-x^2/2 + O (x^3)$, obtenemos:
$$a_n := \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \frac{1}{2} \left( \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right)^2 + O (n^{-\frac{3}{2}}) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \frac{1}{2n} + O (n^{-\frac{3}{2}}).$$
La serie cuyo término general es $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ es convergente, ya que es alterna. El $O (n^{-\frac{3}{2}})$ plazo es summable, en comparación con las sumas de Riemann. Lo que queda es $\frac{1}{2n}$, cuyo correspondiente de la serie es divergente. Por lo tanto, $\sum_{k=0}^{n-1} a_k$ diverge a $- \infty$.
De manera más general, "la alternancia, pero no summable" + "no de secuencia negativa, que decae más rápido, pero todavía no summable" da una secuencia que es equivalente a la inicial de la secuencia alternante, pero cuya suma no converge. Algo como $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}$ es un ejemplo típico (pero me quedo con la secuencia de $(a_n)$, donde la trampa oculta - muestra que usted tiene que tener cuidado).
