El potencial gravitatorio del elipsoide

Question

En la literatura (Kirchhoff G. - Mecánico (1897), La Conferencia de las 18 o Cordero, H. - Hidrodinámica (1879)) se pueden encontrar las siguientes analítico de la forma cerrada de la expresión para el potencial gravitacional de la homogénea elipsoide de la unidad de la densidad, cuya superficie está dada por \begin{equation} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \;. \end{equation} Gravitacional punto para los puntos internos se \begin{equation} \Omega=\pi abc\int_0^\infty\left(1-\frac{x^2}{a^2+\lambda}-\frac{y^2}{b^2+\lambda}-\frac{z^2}{c^2+\lambda}\right)\frac{d\lambda}{\Delta} \end{equation} y para los puntos externos \begin{equation} \Omega=\pi abc\int_u^\infty\left(1-\frac{x^2}{a^2+\lambda}-\frac{y^2}{b^2+\lambda}-\frac{z^2}{c^2+\lambda}\right)\frac{d\lambda}{\Delta} \;, \end{equation} donde \begin{equation} \Delta=\sqrt{(a^2+\lambda)(b^2+\lambda)(c^2+\lambda)} \end{equation} y $u$ es el positivo de la raíz de la ecuación \begin{equation} \frac{x^2}{a^2+u}+\frac{y^2}{b^2+u}+\frac{z^2}{c^2+u}=1 \;. \end{equation}

Las expresiones de estas fórmulas aparecen similar a confocal de coordenadas elipsoidales.

Cómo pueden estas fórmulas se derivan? (tal vez algo más legible de los documentos originales) Pueden ser derivados en términos de elipsoidal armónicos?

Answer 1

Esta es una muy tardía respuesta. No es el libro

Elipsoidal Figuras de Equilibrio

por el mismo dios en este campo S. Chandrasekhar. El capítulo 3 está dedicado completamente a la comprensión de los potenciales gravitacionales de elipsoides. Teoremas 3 y 9 son lo que usted está buscando.

También pidió

Pueden ser derivados en términos de elipsoidal armónicos?

Chandrasekhar no se deriva de las ecuaciones en términos de elipsoidal armónicos. De hecho, afirma que desde muy temprano en la introducción (sección 16). En su lugar se emplea esféricas en coordenadas polares y los ingresos mediante el establecimiento de una serie de lemas en los momentos de la distribución de la masa. Esto equivale a considerar las integrales de la forma $$I(u) = a_1 a_2 a_3 \int_u^{\infty} \frac{du}{\Delta}; \qquad A_i(u) = a_1 a_2 a_3 \int_u^{\infty} \frac{du}{\Delta (a_i^2 + u)}$$ donde $\Delta^2=(a_1^2+u) (a_2^2+u) (a_3^2+u)$ $a_i$ son los semi-ejes principales del elipsoide. Luego vienen los dos teoremas que usted necesita

Teorema 3: En un punto de $x_i$ interior para el elipsoide, el potencial es $$\Phi = \pi G \rho \Big[I(0) - \sum_{i=1}^3 A_i(0) x_i^2 \Big]$$

Teorema 9: En un punto de $x_i$ exterior para el elipsoide, el potencial es $$\Phi = \pi G \rho \Big[I(\lambda) - \sum_{i=1}^3 A_i(\lambda) x_i^2 \Big]$$ donde $\lambda$ es el positivo de la raíz de $$\sum_{i=1}^3 \frac{x_i^2}{a_i^2 + \lambda} = 1$$