¿Cuáles son los subespacios del producto tensor de dos espacios vectoriales? ¿Cada subespacio del producto tensor$V\otimes W$ de la forma$V_1\otimes W_1$, donde$V_1, W_1$ son subespacios de$V$ y$W$?
Respuestas
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Gianluca Faraco
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Es evidente que si$V_1,W_1$ es un subespacio de$V,W$ respectivamente, entonces$V_1\otimes W_1$ es un subespacio de$V\otimes W$. Pero no hay todo el subespacio vectorial de$V\otimes W$.
Por ejemplo, tome$V_2 < V$ y$W_2<W$ tal que$V_1\cap V_2=\{0\}$ y$W_1\cap W_2=\{0\}$; Entonces$(V_1\otimes W_1)\oplus (V_2\otimes W_2)$ es también un subespacio vectorial de$V\otimes W$, pero no puede expresarse en el formulario anterior.
Bien, ¿sabe usted cómo describir "los subespacios" de la genérica de un espacio vectorial? En general, los espacios vectoriales son fáciles de describir (su isomorfismo de clase, de todos modos): son todas las $\cong F^n$ donde $F$ es el campo escalar y $n$ es la dimensión. (Aunque las cosas extrañas que suceden sin el axioma de elección).
Así que si a alguien le preguntó "¿qué son los subespacios de $F^n$? " ¿qué diría usted a ellos?
Tenga en cuenta que $\dim(V\otimes W)=\dim(V)\times\dim(W)$ lo $V\otimes W$ como un espacio vectorial está totalmente determinado por las dimensiones de $V$$W$. En general, cualquier vector del espacio se ve como el producto tensor de dos espacios: de hecho, $V\cong V\otimes_FF\cong F\otimes_FV$ para cualquier espacio vectorial $V$$F$. Así que a tu pregunta, realmente no reducir a preguntar qué los subespacios de un arbitrario del espacio.
No es el caso que los subespacios de $V\otimes W$ parecerse a $V_1\otimes W_1$. De hecho, si $V=W$, entonces el tensor de la plaza de la $V^{\otimes n}=V\otimes V$ tiene el subespacio ${\rm Sym}^2(V)$ de los tensores simétricos y ${\rm Alt}^2(V)$ de la alternancia de los tensores, y ninguno de estos se parecen a $V_1\otimes W_1$. Observar que cuando se forma un puro tensor $v\otimes w$ en un subespacio $V_1\otimes W_1$, cada uno de los $v\in V_1$, $w\in W_1$ puede ser elegido de forma independiente, pero en general con cualquier subespacio $U\subset V\otimes W$, los dos factores de una pura tensor podría no ser tan independiente. En el caso de la ${\rm Sym}^2(V)$ los dos factores de la misma, y en el caso de ${\rm Alt}^2(V)$, todavía hay un poco de libertad, pero los dos factores deben al menos ser diferente.
