Hace un par de días se me ocurrió venir a través de [1], donde el curioso hecho de que $i(i-1)(i-2)(i-3)=-10$ ($i$ es la unidad imaginaria). Esto me llevó a la siguiente pregunta:
Problema 1: Se $3$ el único valor entero positivo de $n$ tal que $i(i-1)(i-2) \cdots (i-n)$ es un número real o un número imaginario puro? Si no, se puede describir todos los valores enteros de a $n$?
Análisis inicial: podemos ver $i(i-1)(i-2) \cdots (i-n)$ como consecuencia de la aplicación de una secuencia finita de operaciones a $i,$ cada uno de los cuales consiste en un estiramiento radial desde el origen y una rotación alrededor del origen. Específicamente, $i$ se mueve radialmente hacia afuera por un factor de $\sqrt{1^2 + 1^2}\sqrt{1^2 + 2^2} \cdots \sqrt{1^2 + n^2}$ y girar hacia la izquierda por el ángulo de $\arctan 1 + \arctan 2 + \cdots + \arctan n.$ Ya que no importa la magnitud del resultado, sólo si la tierra en el eje real o el eje imaginario, el Problema 1 se reduce a preguntar si $3$ es el único valor entero positivo de $n$ tal que $\arctan 1 + \arctan 2 + \cdots \arctan n$ es un múltiplo entero de $\frac{\pi}{4}.$
También se puede comprobar que el $i(i+1)(i+2)(i+3) = -10.$ Esto no es una coincidencia. Desde $\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3$ es un múltiplo entero de $\frac{\pi}{4},$ se sigue que $\arctan (-1) + \arctan (-2) + \arctan (-3) = -\left(\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 \right)$ también debe ser un múltiplo entero de $\frac{\pi}{4}.$
Otros de los productos $(i-3)(i-2)(i-1)(i)$ $(i)(i+1)(i+2)(i+3)$ (y otras dos productos obtenidos por la omisión de la $i$ factor de estos dos), y los productos de la forma $(i-k)(i-k+1) \cdots (i+k-1)(i+k)$ donde $k$ puede ser cualquier entero positivo, no conozco ningún producto de la forma $(i+m)(i+m+1) \cdots (i+n)$ para los números enteros $m$ $n$ $m < n$ que es igual a un número real o un número imaginario puro.
Problema 2: Se $(i-3)(i-2)(i-1)(i)$ $(i)(i+1)(i+2)(i+3)$ (y otras dos productos obtenidos por la omisión de la $i$ factor de estos dos), y los productos de la forma $(i-k)(i-k+1) \cdots (i+k-1)(i+k)$ donde $k$ puede ser cualquier entero positivo, la única pares de números enteros $(m,n)$ $m < n$ tal que $(i+m)(i+m+1) \cdots (i+n)$ es un número real o un número imaginario puro? Si no, se puede describir todos los pares de enteros $(m,n)$?
Por supuesto, es fácil de conseguir a los problemas de tener un alcance más amplio, tales como la sustitución de "$i+m$" con cualquier número complejo cuya parte real e imaginaria son enteros y/o el uso de factores que incrementan la parte imaginaria por $1$ (o el incremento tanto de las partes real e imaginaria por $1$) y/o el uso de factores que incrementan la parte real (o la parte imaginaria, o ambos a la parte real y la parte imaginaria) por un constante integer cantidad, etc.
Sospecho que las respuestas a estos problemas puede ser obtenido a partir de un análisis cuidadoso de Carl Størmer de la década de 1890, los resultados implican Machin fórmulas como, pero mis conocimientos de francés y de este campo de las matemáticas es bastante pobre. Para aquellos interesados, sugiero mirar Størmer [2]. También sospecho que hay una forma más directa de resolver el Problema 1, y quizás también el Problema 2.
Personalmente, yo soy sólo moderadamente interesado en este tema, pero yo estoy publicando porque pensé otros en este grupo podría encontrar algo interesante a seguir. En particular, si no hay una bastante trivial manera de resolver el Problema 1 y alguien se las arregla para encontrar una solución que no es muy difícil, tengo la sospecha de que tal solución sería hacer una interesante Matemáticas-Mensual tipo de papel.
[1] Charles-Ange Laisant (1841-1920), Remarque sur une équation différentielle linéaire [Comentario de una ecuación diferencial lineal], Bulletin de la Société mathématique de Francia, 23 (1895), 62-63.
[2] Carl Fredrik Mülertz Størmer [Störmer] (1874-1957), Sur l'aplicación de la théorie des nombres entiers complejos a la solución en nombres rationnels $x_{1} \; x_{2} \; \dots \; x_{n} \; c_{1} \; c_{2} \; \dots \; c_{n}, \; k$ de l'équation: $c_{1} \text{arc tg}\, x_{1} + c_{2} \text{arc tg}\, x_{2} + \dots . + c_{n} \text{arc tg}\, x_{n} = k\frac{\pi}{4},$ [En una aplicación de la teoría de los complejos de los números enteros a la solución en los números racionales $x_{1} \; x_{2} \; \dots \; x_{n} \; c_{1} \; c_{2} \; \dots \; c_{n}, \; k$ de la ecuación: $c_{1} \arctan x_{1} + c_{2} \arctan x_{2} + \dots . + c_{n} \arctan x_{n} = k\frac{\pi}{4}$], Archiv para Mathematik og Naturvidenskab 19 #3 (1896), 95 + 1 (fe de erratas) páginas.
ACTUALIZACIÓN (30 de diciembre de 2013): he incorporado el comentario benh hecho y me han hecho ligeras correcciones a mi Størmer documento de citación, pero por lo demás me han dejado mi texto original intacto. Estoy impresionado con la variedad de técnicas matemáticas traído para arriba en los comentarios y soluciones, especialmente de los análisis probabilistas de que Hagen von Eitzen dio.
Estoy eligiendo KenWSmith la respuesta, porque, más que nadie, él es el responsable de traer a la luz una solución (Problema 1): se observa que todos los productos de la forma $i(i+1)(i+2) \cdots (i+n)$ tiene la forma $a+bi$ donde tanto $a$ $b$ son enteros. Por lo tanto, si $a+bi$ es real o imaginario puro, tenemos $a=0$ o $b=0,$ y por lo tanto el módulo de $a+bi$ es igual a $b$ o $a,$ y por lo tanto el módulo de $a+bi$ será un número entero. Por otro lado, el módulo de $a+bi$ también es igual a $\sqrt{1^2 + 1^2}\sqrt{1^2 + 2^2} \cdots \sqrt{1^2 + n^2}.$ por Lo tanto, el Problema 1 es equivalente a encontrar todos los enteros positivos valores de $n$ tal que $\sqrt{1^2 + 1^2}\sqrt{1^2 + 2^2} \cdots \sqrt{1^2 + n^2}$ es un número entero. Equivalentemente, encontrar todos los enteros positivos valores de $n$ tal que $(1^2 + 1^2)(1^2 + 2^2) \cdots (1^2 + n^2)$ es el cuadrado de un entero.
KenWSmith a continuación se publican en esta última versión en mathoverflow: Cuando es el producto (1+1)(1+4)...(1+n^2) un cuadrado perfecto? En el mismo día Lucía suministra una respuesta mediante la vinculación a una versión de pre-impresión de un documento de 2008 por Javier Cilleruelo [Revista de Teoría de los números 128 #8 (agosto de 2008), 2488-2491], la cual fue escrita exclusivamente para responder a la pregunta de si $n=3$ es el único entero positivo tal que $(1^2 + 1^2)(1^2 + 2^2) \cdots (1^2 + n^2)$ es el cuadrado de un entero, que conjeturó y "parcialmente verificada" en los 2 meses anteriores papel por Amdeberhan/Medina/Moll [Revista de Teoría de los números 128 #6 (junio de 2008), 1807-1846].