¿Número mínimo de puntos para superar la caída en la Premier League inglesa?

Question

Hay 20 equipos en la English Premier League (EPL) y cada equipo juega 2 partidos contra cualquier otro equipo (uno en casa y uno como invitado). Una victoria es recompensado con 3 puntos, empate 1 punto y la pérdida es de 0 puntos. Al final de la temporada de la parte inferior 3 equipos que descienden (y reemplazado con el mejor rendimiento de 3 equipos desde el nivel inferior).

Hay un dicho popular creen en el EPL, que usted necesita para recoger a los 40 puntos para evitar el descenso. Quiero averiguar:

1. cuál es el número real de puntos que garantiza que usted permanezca; o si esto es demasiado difícil
2. son 40 puntos realmente suficiente?

P. S. Si dos equipos tienen el mismo número de puntos al final de la temporada, otros criterios como los de mejor diferencia de gol, gol, etc. Esto significa, que si el 17 y 18 de equipo tienen el mismo número de puntos, no es una garantía por sí mismo.

Aquí es cómo ahora tengo hasta el momento:

1. El número de juegos por temporada 380.
2. Cada juego puede tener uno de los 3 resultados: victoria para los anfitriones, victoria para los invitados, o un empate.
3. Lo que significa, que hay $3^{380}$ posible tablas al final de la temporada.

Por supuesto, muchos de estos son realmente los duplicados: por ejemplo, si t1 victorias en casa contra t2 y pierde lejos, es el mismo (para el final de la tabla) como si se perdió en casa y ganó de distancia.

También, "cambiar el nombre de" los equipos (por ejemplo, $t_1$ se convierte en $t_2$, $t_2$ se convierte en $t_3$, $t_3$ vuelve $t_1$) produciría la misma mesa (para nuestro problema). Es decir, no importa (para nosotros) si t1 acabados de primera o es relegado, sólo los puntos del primer equipo, el segundo equipo, etc.

Ni siquiera la atención acerca de los puntos de los primeros 16 equipos, nosotros sólo nos preocupamos de los puntos 17 y 18 lugares.

Pero no sé cómo utilizar estas características para asegurarse de que no tenemos duplicados.

Así que, ¿cómo puedo averiguarlo?

P. S. Si puedo reducir el número de posibles tablas a algo que una computadora puede procesar, (y un camino para la construcción de ellos, por supuesto), este estaría bien.

[EDITAR] Me acabo de dar cuenta, que hay una manera fácil de demostrar que el 40 puntos no son suficientes: Si cada equipo gana sus partidos en casa (y por lo tanto pierde su distancia de los juegos), todos ellos tienen 19*3 = 57 puntos al final de la temporada. Así que incluso los 57 puntos no son suficientes para garantizar la 17ª posición.

Answer 1

El menor número de puntos de garantizar que la estancia es $64$.

El número es $>63$: En un caso extremo, dos equipos de perder todos sus partidos contra el otro $18$ de los equipos, y en todas las combinaciones de dos de los otros $18$ de los equipos, un partido ganado y otro perdido. Luego en la final, los dos equipos tienen $\leq 6$ puntos, y todos los demás equipos tienen $21\cdot 3 = 63$ puntos. Así que con $63$ puntos, que todavía no es seguro, necesariamente.

El número es $\leq64$: Suponga que usted ha $\geq 64$ puntos y todavía se termina en la $\geq 18$º lugar. Luego la primera a la $17$ equipos han $\geq 64$ puntos. Así, en total, hay, al menos, $18\cdot 64 = 1152$ puntos. Sin embargo, el máximo teórico es de $3\cdot 380 = 1140$, contradicción.

Answer 2

Divida a los 20 equipos en tres grupos: el 17 de Arriba, 2 Abajo, y Usted. Cómo garantizar que Usted tiene más puntos de los que al menos uno de los Mejores, a pesar de cualquier distribución de premios por otros equipos.

El 17 de Arriba, en los juegos, exclusivamente entre sí, podría terminar con 48 puntos cada uno. (Un equipo juega los otros 16 dos veces, ganando uno y perdiendo uno.) Además, cada uno de los equipos de Arriba podría vencer a los 2 de Abajo dos veces, cada una de ganar un adicional de 12 puntos. Así que el 17 de Arriba, cada uno podría tener 60 puntos sin jugar. Cualquier otro escenario sería dejar al menos uno de los 17 Mejores con menos de 60 puntos.

Si Usted vencer a uno de la parte Superior dos veces, sólo necesita un total de 61 puntos para pasar de que la parte Superior del equipo. Si no en blanco a un equipo Superior, que necesita de 64 puntos para pasar de todos ellos. Desafortunadamente, si usted pierde un juego a cada uno de los 17 de la parte Superior, usted tiene sólo 21 partidos de la izquierda y no se puede obtener el 64 puntos necesarios.

Así que hay un escenario en el que 63 puntos no garantiza la supervivencia...

Answer 3

Respuesta = 64

En el peor de los casos: 2 equipos pierden todos los partidos y para descansar 18 equipos, los equipos de descanso ganan todos los partidos en casa y pierden partidos fuera, excepto a los que son el fondo 2, por lo que cada equipo gana 17 4 = 21 partidos para obtener 63pts cualquiera de los 18 equipos pueden ser relegados, por lo que si un equipo obtiene 64 pts que despejar la peor condición del escenario dado, por lo tanto, no quedan relegados