He estado repasando el texto de Topología de Munkres por mi cuenta, y no estoy seguro de que el siguiente argumento sea correcto. He buscado en Internet algunas respuestas alternativas y parece que los enfoques que otros han adoptado para este problema no son los mismos que yo he abordado, así que me preocupa estar cometiendo algunos errores conceptuales. El problema:
Sea {A $_{\alpha}$ } sea una colección de subconjuntos de X. Sea X= $\cup_{\alpha}$ A $_{\alpha}$ . Sea f: X $\rightarrow$ Y; supongamos que f $\mid$ A $_{\alpha}$ es continua para cada $\alpha$ . Una familia indexada de conjuntos {A $_{\alpha}$ } se dice que es localmente finito si cada punto de X tiene una vecindad que interseca a A $_{\alpha}$ sólo para un número finito de valores de $\alpha$ . Demuestre que si la familia {A $_{\alpha}$ } es localmente finito y cada A $_{\alpha}$ es cerrada, entonces f es continua.
Intento de solución:
Sea x $\in$ X. Dado que existe una vecindad U $_{x}$ de x que interseca a A $_{\alpha}$ para sólo un número finito de $\alpha$ , U $_{x}$ puede estar contenido en una colección finita de A $_{\alpha}$ 's. Así que x $\in$ U $_{x}$ $\subset$ $\cup_{i=1}^{n}$ A $_{i}$ $\subset$ X. Entonces, como cada A $_{i}$ es cerrado y f $\mid$ A $_{i}$ continua para cada i, por aplicación repetida del Lema de Pegado, f $\mid$$ \cup_{i=1}^{n} $A$ _{i} $ is continuous. Then, since U$ _{x} $ $ \N - Subconjunto $ $ \cup_{i=1}^{n} $A$ _{i} $, by restricting the domain (Theorem 18.2d), f$ \N - Medio $U$ _{x} $ continuous. Since it is given that such a neighborhood U$ _{x} $ exists for each x $ \en $ X, then X can be written as the union of open sets U$ _{x} $, where f$ \N - Medio $U$ _{x} $ is continuous for each x, and so by Theorem 18.2f (local formulation of continuity), f: X$ \N -rightarrow$Y es continua.
Siento que me estoy perdiendo algo, o haciendo algunas suposiciones incorrectas. Se agradece cualquier ayuda.
