Probar que si$f:[0,1] \to \mathbb{R}$ es absolutamente continuo, entonces$|f|^p$ es absolutamente continuo para$p>1$

Question

Estoy tratando de mostrar que si $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ es absolutamente continua, a continuación, $|f|^p$ es absolutamente continua para todos los $p>1$.

Ya que el producto de funciones continuas es absolutamente continua, el resultado es evidente si $p$ es un número entero. Mi primer pensamiento en tratar de demostrar que el resultado fue tratar de generalizar la prueba de que el producto de funciones continuas es absolutamente continua. Siguiendo esa estrategia y utilizando el hecho de que $f$ es acotado, no es difícil reducir el problema a probar el resultado para el caso de que $1<p<2$. Una vez que llegue aquí, aunque no estoy seguro de cómo proceder. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Sabemos que para cada$\delta>0$ existe un$S_\delta$ tal que para cualquier secuencia finita de$n$ disjoint intervalos cerrados$[a_i,b_i]$ con suma de longitudes menos de$\delta$ we tener $\sum\limits_{i=1}^n|f(a_i)-f(b_i)|\leq S_\delta$.

Ahora note que la función$f(x)=x^p$ definida en el intervalo$[0,a]$ es lipschitz continua, por lo que existe un$\alpha >0$ tal que$||x|^p-|y|^p|\leq \alpha|x-y|$.

Por lo tanto$\sum\limits_{i=1}^n|f(a_i)-f(b_i)|\leq S_\delta\alpha$.

Vamos a tomar un$\delta$ tal que$S_\delta< \epsilon/\alpha$ y hemos terminado.