¿Dominio integral no-UFD tal que prime es equivalente a irreducible?

Question

En el dominio integral, cada primo es irreducible. Pero lo contrario no es cierto, por ejemplo,$1+\sqrt{-3}$ es un irreducible pero no un primo en${\Bbb Z}[\sqrt{-3}]$. En una UFD, "prime" e "irreducible" son equivalentes.

Aquí está mi pregunta :

¿Existe un dominio no-UFD integral tal que prime es equivalente a irreductible?

Answer 1

Sí, por ejemplo, su vacío verdad en el anillo de todos los números enteros algebraicos, que no tiene irreductibles (por lo que no primos), ya que los dominios son conocidos como dominios de antimateria , ya que no tienen átomos (irreducibles).

Answer 2

Establecer$\mathbb{Z}_{(2)} = \{\frac{x}{y} \mid x,y\in\mathbb{Z}, 2\nmid y\}$,$R_n = \mathbb{Z}_{(2)}[\sqrt[2^n]{2}]$ y$R = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} R_n$. Entonces$R$ no contiene elementos primos ni elementos irreducibles.