¿Existe una interpretación probabilística del determinante de una matriz estocástica (es decir, una matriz$n \times n$ cuyas columnas suman a la unidad)?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
DanielV
Puntos
11606
Bueno, una interpretación de una matriz estocástica es como una matriz de transición de estado. Considere el estado después de la transición$n^\text{th}$,$S=M^n$ y observe que$$\det(S) = \det(M^n) = \det(M)^n$ $
Excepto en casos marginales cuando$\det(M) = 1$ o cuando las transiciones no convergen, esperamos que$\det(M^\infty) = \det(M)^\infty = 0$. Así que cuanto más cerca está el determinante de$1$, más lentamente las transiciones alcanzan el estado estacionario. Cuanto más se aproxima el determinante a$0$, más rápidamente las transiciones alcanzan el estado estacionario.
Abhishek Bajoria
Puntos
16
Puedo agregar un par de cosas a DanielV la respuesta, pero esto es todavía muy incompleta, y espero que la pregunta va a atraer a una mejor respuesta de este.
Sabemos que la magnitud de la determinante de una matriz estocástica debe estar entre 0 y 1, inclusive. Es igual a 1 si y sólo si la matriz es una matriz de permutación, con el determinante de la misma de ser igual a 1 para una permutación, y -1 para una permutación impar.
Por otro lado, si el determinante es cero significa que algunas de las filas son linealmente dependientes, y por lo tanto que la matriz no es invertible. Si lo interpretamos como un estado de transición de la matriz, a continuación, esto significa que parte de la información ha sido irremediablemente perdido sobre el estado inicial después de un solo paso de tiempo. Por ejemplo, considere la matriz $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ \end{pmatrix}. $$ Esto tiene determinante cero. Si la correspondiente cadena de Markov se inicia en el estado 2, a continuación, después de un tiempo de un solo paso esta información ha sido completamente perdido: el estado es ahora 2 o 3 (con una probabilidad de $1/2$), y no hay manera de adivinar, incluso probabilísticamente, si su estado anterior era de 2 o 3. Por otro lado, si se inicia en el estado 1, a continuación, esta información se conserva indefinidamente, por lo que un factor determinante de cero sólo significa que alguna información es inmediatamente pierde por completo.
Tenga en cuenta también que este sistema no es ergodic, por lo que nunca convergen a un único estado de equilibrio. Por consiguiente, no podemos interpretar estrictamente un pequeño factor determinante en el sentido de que el sistema se pone en equilibrio rápidamente.
Esto sugiere que el determinante puede ser interpretado como poner algún tipo de límite en lo bueno que el sistema está en la preservación de la información acerca de su estado inicial. Pero por el momento no estoy seguro de cómo hacer esto formales.
Por último, quiero señalar una interesante posible conexión entre el test de Kolmogorov del criterio y los factores determinantes, aunque de nuevo no estoy muy seguro de lo que significa, en todo caso.
Prueba de Kolmogorov del criterio de que se trate de decidir si una cadena de Markov tiene la importante propiedad de ser reversible. Definir un bucle como un orden cíclico de la secuencia de los estados de $i_1, i_2, \dots i_n$, en el que (podríamos decir) el estado no se repite. Prueba de Kolmogorov del criterio dice que por cada posible bucle, $$p_{i_1i_2}p_{i_2i_3}\dots p_{i_{n-1}i_n}p_{i_ni_1} = p_{i_1i_n}p_{i_ni_{n-1}}\dots p_{i_3i_2}p_{i_2i_1}. $$ Es decir, la probabilidad de que el sistema va alrededor del bucle en la dirección de avance es igual a la que va alrededor de la misma bucle en la dirección inversa.
Lo interesante es que son los factores determinantes también se ocupan de estas bucle de probabilidades. Por ejemplo, el determinante de a $3\times 3$ estocástico de la matriz está dada por $$ (p_{12}p_{23}p_{31}) + (p_{13}p_{32}p_{21}) - (p_{11})(p_{23}p_{32}) - (p_{22})(p_{13}p_{31}) - (p_{33})(p_{12}p_{21}) + (p_{11})(p_{22})(p_{33}), $$ donde yo he utilizado los paréntesis para indicar que esta es una suma de productos de bucle de probabilidades. Se utiliza cada posible bucle al menos una vez. (Esto es cierto en general). El signo del término depende del número de bucles que participan, o, equivalentemente, si el producto de las longitudes de bucle es par o impar. (La conexión entre los bucles y los determinantes de la observó y desarrollado por Richard Levins, pero en el contexto de la dinámica de reacciones en la ecología, en lugar de procesos de Markov.)
Sin embargo, mientras que parece que hay algún tipo de potencial relación entre los factores determinantes y la prueba de Kolmogorov criterio, no estoy seguro exactamente lo que es. (No parece ser posible para el estado de Kolmogorov del criterio en términos de determinantes, por ejemplo). Es sugerente que podría ser una 'profunda' interpretación de la determinante de una matriz de transición, pero vamos a tener que esperar otra respuesta para saber exactamente lo que es.
