¿Existe un análogo de los espacios de Eilenberg-Maclane para la homología?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y $n$ un número entero positivo. Un espacio topológico conexo $Y$ se llama Espacio Eilenberg-MacLane de tipo $K(G, n)$ , si $\pi_n(Y) \cong G$ y todos los demás grupos de homotopía de $Y$ son triviales; como tales espacios son únicos hasta la equivalencia débil de homotopía, a menudo denotamos tal espacio por $K(G, n)$ .

Si $G$ es un grupo abeliano y $X$ es un complejo CW, entonces $$[X, K(G, n)] \cong H^n(X; G);$$ donde la cohomología es la cohomología singular.

¿Existe una familia de espacios topológicos $J(G, n)$ que satisfacen una relación similar para la homología singular? Más concretamente,

Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano y $n$ un número entero positivo. ¿Existe un espacio topológico conectado $J(G, n)$ tal que, para cualquier complejo CW $X$ , $$[J(G, n), X] \cong H_n(X; G)?$$ Si es así, ¿es única hasta la equivalencia de homotopía? ¿Puede $J(G, n)$ ¿se puede caracterizar de otra manera (como en el caso de los espacios de Eilenberg-MacLane)?

Answer 1

Si quieres sustituir las clases de homotopía de los mapas de salida por las clases de homotopía de los mapas de entrada, lo que obtienes es homotopía, no homología. Esto es parte del yoga de Dualidad Eckmann-Hilton . Dado que es una construcción de "mapas dentro", la homotopía se comporta bien con respecto a límites de homotopía (por ejemplo, la secuencia exacta larga de una fibración). En cambio, tanto la homología como la cohomología se comportan bien con respecto a colímites de homotopía (por ejemplo, la secuencia Mayer-Vietoris).

La forma categórica de pensar en la homología es pensar que proviene de un análogo superior de tomar el grupo abeliano libre en un conjunto (en lugar de tomar funciones dentro o fuera del conjunto). Hay varias formas de precisar esto, como la Teorema de Dold-Kan y el Teorema de Dold-Thom así como el enfoque más abstracto que implica espectro que son los análogos superiores de los grupos abelianos.

Se puede pensar en tomar el grupo abeliano libre como una operación de "producto tensorial" $\mathbb{Z} \otimes X$ que, entre otras cosas, le da las expectativas correctas en cuanto a su comportamiento con respecto a los límites y colímites (preserva los colímites en el $X$ variable). La forma en que esto se generaliza a los espectros es que si $E$ es un espectro, entonces $E$ -es el grupo de homotopía del "producto tensorial derivado". $E \otimes X$ (formalmente, el producto estrella de $E$ con el espectro de la suspensión $\Sigma^{\infty}_{+} X$ que debe considerarse como el espectro libre en $X$ ). Si $E$ es un espectro de anillos Esto puede ser considerado como el libre $E$ -espectro del módulo en $X$ .

Puede ser útil organizar todo en la siguiente tabla, que también incluye las operaciones análogas en el álgebra homológica:

Homotopy   | Ext(A, -) | Maps in  | Covariant     | Preserves limits 
Homology   | Tor(A, -) | Tensor   | Covariant     | Preserves colimits
Cohomology | Ext(-, A) | Maps out | Contravariant | Sends colimits to limits

(Debo aclarar que las afirmaciones de la última columna no son literalmente ciertas tal y como están escritas; en primer lugar, los límites y colímites deberían sustituirse por límites y colímites de homotopía, y en segundo lugar, dependiendo de si se toman grupos de homotopía o no, "preserva" debería sustituirse por la existencia de una secuencia espectral agradable).

Answer 2

No puede haber tal $J$ para cualquier $n>0$ .

Porque si ese fuera el caso, entonces $$H_n(X \times Y) \cong [J(G,n), X \times Y] \cong [J(G,n), X] \times [J(G,n), Y] \cong H_n(X) \times H_n(Y).$$

Pero es evidente que esto no es cierto; si $Y = \{0, 1\}$ esto implicaría $H_n(X) \oplus H_n(X) \cong H_n(X \sqcup X) \cong H_n(X)$ para $n>0$ .

Si se quiere un ejemplo conectado, se puede mostrar $H_n(X \times S^1) \cong H_n(X) \oplus H_{n-1}(X)$ . Esto no suele ser $H_n(X) \oplus H_{n}(S^1)$ ; puedes elegir $X$ para que esto no sea cierto para todos $n>1$ .