$\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\cdots}}}}}$ aproximación

Question

Hay algún truco para evaluar esto o se trata de una aproximación, quiero decir que no puedo usar calculadora.

$$\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\cdots}}}}}$$

Answer 1

$$\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7...}}}}}=7^\frac{1}{2}\cdot7^\frac{1}{4}\cdot 7^\frac{1}{8}\cdots=7^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots}=7^{\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}}=7$$

Answer 2

Dejemos que $$\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7...}}}}}=x $$

Claramente, $x>0$

$$\implies x^2=7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7...}}}}}=7x$$

Ahora queda la prueba de la convergencia (según lo conversado con Abdulh Khazzak Gustav ElFakiri)

Obsérvese que el $r$ El término $T_r$ de este producto infinito es $\displaystyle7^{\left(\frac1{2^r}\right)}$

utilizando Convergencia/Divergencia del producto infinito , $$\sum_{0\le r<\infty}\ln(T_r)=\ln 7\sum_{0\le r<\infty}\frac1{2^r}$$ que es un infinito Serie geométrica con relación común $=\frac12$ que $\in(-1,1)$ por lo que la serie posterior es convergente $\left(\text{ in fact }\displaystyle=\ln7\cdot\frac1{1-\frac12}\right)$ , así será el Producto infinito original

Answer 3

Su expresión puede escribirse como $$7^{\frac12 + \frac14 ...}.$$

Ahora puedes usar la suma de infinitos GP = $\frac{a}{1-r}$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la proporción común.

Por lo tanto, la suma $= 1$ .

Su expresión $=$ $7^1$ = $7$

Answer 4

Tenemos que encontrar el valor de $\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{\dots}}}}}$ .

Paso 1: Dejar que $\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\dots}}}}}=y$

Paso 2: Cuadrar ambos lados. $$7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\dots}}}}}=y^2$$ Paso 3: Recordemos que $\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\dots}}}}}=y$ . Así que: $$7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\dots}}}}}=7y$$ Paso 4: Reescribir la ecuación. $$7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\dots}}}}}=y^2$$ $$7y=y^2$$ $$y^2-7y=0$$ Paso 5: Resolver para $y$ . $$y^2-7y=0$$ $$y(y-7)=0$$ $$y=0, \ 7$$ Es imposible que $y=0$ . Así que, $y=7$ . $$\displaystyle \boxed{\therefore \sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\dots}}}}}=7}$$

Answer 5

Alternativamente, deja que $a_1,\,a_2,\,a_3,\,\cdots,\,a_n$ sea la siguiente secuencia $$\sqrt{7},\,\sqrt{7\sqrt{7}},\,\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7}}},\,\cdots,\underbrace{\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{\cdots\sqrt{7}}}}}}_{\large n\,\text{times}}$$ respectivamente.

Observe que $$\large a_n=7^{\Large 1-2^{-n}}$$ Por lo tanto, $$\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{\cdots}}}}}=\large\lim_{n\to\infty}\, a_n=\lim_{n\to\infty}\,7^{1-\Large2^{-n}}=\bbox[3pt,border:3px #FF69B4 solid]{\color{red}{7}}$$