Estoy trabajando en una edición anterior de John Lee el libro de lisa colectores, y él tiene una serie de problemas donde se representa un verdadero colector de uso de variables complejas. Por ejemplo, en el capítulo 3 problema 5:
Considere la posibilidad de $\mathbb{S}^3$ como un subconjunto de a $\mathbb{C}^2$ menor a la habitual identificación de $\mathbb{C}^2$$\mathbb{R}^4$. Para cada una de las $z = (z^1, z^2) \in \mathbb{S}^3$ definir una curva de $\gamma_z: \mathbb{R} \to \mathbb{S}^3$ $$ \gamma_z(t) = (e^{it}z^1, e^{it}z^2).$ $
Posteriormente se pide por nosotros para calcular las coordenadas de la representación de $\gamma_z(t)$ mediante la proyección estereográfica y, a continuación, calcular $\gamma_z'(t)$ por debajo del mismo de transformación de coordenadas. Estoy realmente confundido acerca de hacer esto usando variables complejas cuando estamos trabajando en un verdadero colector. De terquedad he calculado lo que pensé que sería la representación real de $\gamma_z(t)$:
$$ \gamma_x(t) \;\; =\;\; (x^1 \cos t - x^2 \sen t, x^1 \sen t + x^2 \cos t, x^3 \cos t - x^4 \sen t, x^3 \sen t + x^4 \cos t) $$
pero esto no puede ser, posiblemente, a la derecha. Dejando $\sigma:\mathbb{S}^3/\{N\} \to \mathbb{R}^3$ ser la proyección estereográfica del barrio omitiendo el punto de $N = (0,0,0,1)$, obtenemos entonces
$$ (\sigma\circ \gamma_x)(t) \;\; =\;\; \frac{(x^1 \cos t - x^2 \sen t, x^1 \sen t + x^2 \cos t, x^3 \cos t - x^4 \sen t)}{1 - x^3\sen t - x^4 \cos t} $$
que no puede ser, posiblemente, a la derecha, ya que no se definen en el punto de $(0,0,1,0)$ todos los $t \in \mathbb{R}$.
Estoy perdido en cuanto a cómo abordar este tipo de problema con variables complejas. Gracias de antemano!
P. S. Para referencia, mi copia es una edición en Chino pero no creo que haya ninguna diferencia de fondo entre mi copia y la puesta en el enlace. Yo definitivamente no tiene la segunda edición.
