¿Partes real e imaginaria de la constante dieléctrica frente al índice de refracción?

Question

Así, para una constante dieléctrica compleja $\epsilon = \epsilon_a + i\epsilon_b$ el vector de onda y el índice de refracción se relacionan con él mediante $k = \frac{\omega}{c}n$ y $n = \sqrt{\frac{\mu \epsilon}{\mu_0 \epsilon_0}}$ . Según Jackson, la parte real del dieléctrico está relacionada con la polarización y la dispersión anómala, mientras que la parte imaginaria está asociada a la disipación de energía en el medio.

Si se escribe el vector de onda como $k = \beta + i \alpha/2$ e introdúzcalo en la fórmula de onda general (sólo en 1D por ahora) de $e^{ikr} = e^{-\alpha r/2}e^{i\beta r}$ la intensidad disminuye como $e^{-\alpha r}$ Así que $\alpha$ es la constante de atenuación, que indica la rapidez con la que la onda se extingue en el medio.

Pero, si conectas esa forma de $k$ en las ecuaciones anteriores para resolver $\alpha$ y $\beta$ en función de $\epsilon_a$ y $\epsilon_b$ te das cuenta de que $\alpha$ y $\beta$ son a la vez función de $\epsilon_a$ y $\epsilon_b$ .

Esto me resulta contraintuitivo, porque intuitivamente pensaría que la constante de atenuación $\alpha$ sólo se basaría en $\epsilon_b$ debido a la disipación, y lo mismo con $\beta$ y $\epsilon_a$ .

¿Puede alguien dar una buena explicación física de esta "mezcla"?

Answer 1

En realidad, no existe una buena explicación física, sino que se debe simplemente a las convenciones que elegimos para representar nuestros campos electromagnéticos.

La constante eléctrica $\epsilon_0$ se definió como la constante necesaria para que la ley de Gauss para la electricidad y la ley de Coulomb funcionen para cualquier unidad de longitud, carga y fuerza que se quiera elegir. Cuando añadimos un medio, resulta útil definir el vector de desplazamiento eléctrico y una nueva constante eléctrica efectiva $\epsilon$ para ese medio: $\epsilon$ tiene en cuenta el desplazamiento de la carga provocado por el campo eléctrico y el consiguiente "campo de reacción" de la carga ligada: por lo que debemos poner $\epsilon$ en la ley de Gauss si queremos que funcione para la carga neta.

Sin embargo, cuando te pones a estudiar las ondas, estás juntando las leyes de Faraday y Ampère (con la "corriente de desplazamiento" de Maxwell): dos ecuaciones diferentes que describen un fenómeno distinto que simplemente la fuerza y el flujo de un campo eléctrico. Tienes dos ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas, por lo que la velocidad y las constantes de propagación dependen de $\sqrt{\epsilon}$ y $\sqrt{\mu}$ ya que al desacoplar las ecuaciones de segundo orden se obtienen raíces cuadradas de los coeficientes constantes que intervienen en los argumentos del $\exp(i (k z - \omega t))$ soluciones básicas. Si hubiéramos descubierto primero las ondas y después la ley de Gauss, probablemente habríamos definido las cosas de otra manera, de modo que $\sqrt{\epsilon}$ y $\sqrt{\mu}$ eran las cantidades más fundamentales. Cuando se eleva al cuadrado o se hace la raíz cuadrada de una cantidad compleja, se mezclan los componentes y ya está. Incluso se podría imaginar definir $\epsilon^{\frac{1}{4}}$ , $\mu^{\frac{1}{4}}$ como las cantidades fundamentales: esto sería bastante aceptable y tendrías cuadrados de las cantidades fundamentales en las ecuaciones de Maxwell. Seguiría habiendo mezcla de componentes reales e imaginarios cuando se quisiera hallar el coeficiente de atenuación. Es simplemente una cuestión de convenciones.

Answer 2

La cuestión aquí es hasta qué punto el índice de refracción $n$ te habla de la disipación. Como bien has dicho, la parte imaginaria de $n$ que depende de las partes real e imaginaria de $\epsilon$ lleva a una parte imaginaria en k que describe un campo eléctrico que decae exponencialmente. Sin embargo, esto no se corresponde necesariamente con una disipación (es decir, una disminución de la energía). Por ejemplo, si consideramos un metal ideal con un valor real de $\epsilon<0$ , $k$ es imaginario, lo que conduce de nuevo a la decadencia espacial. Pero en el dominio del tiempo, una onda plana incidente será perfectamente reflejada por un metal de este tipo en lugar de ser absorbida. Para calcular la disipación, tenemos que calcular la potencia media en el tiempo, a lo largo de un solo ciclo o periodo. Si hacemos esto para un medio dieléctrico arbitrario con $\epsilon=\alpha+i\beta$ la potencia disipada es de $\langle P_d\rangle=\frac{\omega}{2}\beta|E|^2$ (una prueba puede encontrarse aquí http://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter11/11.5.html ). Finalmente, la potencia disipada sólo depende de la parte imaginaria de la permitividad $\beta$ .

Answer 3

Esta es una buena pregunta con la que yo mismo he luchado durante algún tiempo. Creo que la respuesta correcta es la siguiente. La parte imaginaria del índice de refracción, es decir $\kappa$ cuantifica la disipación de la luz a través de un medio. Sin embargo, si sólo se quiere cuantificar la disipación debida a campos eléctricos no retardados, la cantidad que cuantifica esto no es $\epsilon_b$ pero $\operatorname{Im}\frac{1}{\epsilon}$ donde $\epsilon$ es la función dieléctrica total. Por tanto, el índice de refracción y la función dieléctrica inversa son las magnitudes más adecuadas para medir. Como referencia adicional, recomiendo el libro Electrodinámica de los sólidos, de Dressel y Gruner.

Answer 4

De hecho, también puede escribir $n$ como un número complejo, $n=n_r+in_i$ quizás sepas que el índice de refracción puede deducirse de $\sqrt{\epsilon}$ escribir $\epsilon=\epsilon_r+\epsilon_i$ Resuelto como $$ n_r=\sqrt{\sqrt\frac{\epsilon_i^2+\epsilon_r^2}{2}+\epsilon_r/2}$$ $$ n_i=\sqrt{\sqrt\frac{\epsilon_i^2+\epsilon_r^2}{2}-\epsilon_r/2}$$

Todas estas expresiones son equivalentes