Vamos a mostrar que
$$
\frac{\Gamma\left(\frac{3}{10}\right)\Gamma\left(\frac{4}{10}\right)}{\Gamma\left(\frac{2}{10}\right)}=\frac{\sqrt[\large5]{4}\cdot\sqrt{\pi}}{\phi},
$$
donde $\phi$ es la proporción áurea.
Porque de la de Gauss, la multiplicación de la fórmula sabemos que
$$\Gamma(2z)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}2^{2z-1}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right).$$
Debido a $\Gamma$ es en ninguna parte de cero, podemos dividir la fórmula por $\Gamma(z)$, y obtenemos
$$\frac{\Gamma(2z)}{\Gamma(z)}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}2^{2z-1}\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right).$$
Ponemos a $z:=2/10$ en la fórmula y obtener
$$\color{red}{\frac{\Gamma\left(\frac{4}{10}\right)}{\Gamma\left(\frac{2}{10}\right)}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}2^{\frac{4}{10}-1}\color{blue}{\Gamma\left(\frac{7}{10}\right)}.$$
Ahora echa un vistazo a la de Euler reflexión de la fórmula.
$$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(z\pi)}.$$
Con $z:=3/10$ tenemos
$$\color{green}{\Gamma\left(\frac{3}{10}\right)}\color{blue}{\Gamma\left(\frac{7}{10}\right)}=\frac{\pi}{\sin\left(\frac{3}{10}\pi\right)}.$$
Poniendo todo esto junto, obtenemos
$$
\color{red}{\frac{\color{green}{\Gamma\left(\frac{3}{10}\right)}\Gamma\left(\frac{4}{10}\right)}{\Gamma\left(\frac{2}{10}\right)}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}2^{\frac{4}{10}-1}\frac{\pi}{\sin\left(\frac{3}{10}\pi\right)}.$$
Ahora tenemos que
$$\sin\left(\frac{3}{10}\pi\right)=\frac{1+\sqrt{5}}{4},$$
y, por supuesto, también sabemos que $\pi / \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi}$.
El uso de este obtenemos
$$
\frac{\Gamma\left(\frac{3}{10}\right)\Gamma\left(\frac{4}{10}\right)}{\Gamma\left(\frac{2}{10}\right)}=2^{-\frac{3}{5}} \cdot \sqrt{\pi} \cdot\frac{4}{1+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt[\large5]{4}\cdot\sqrt{\pi}}{\phi},$$
y esto completa la prueba.
Un último hecho de la diversión, que podemos generalizar el problema como este
$$\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}-z\right)\Gamma(2z)}{\Gamma(z)}=\frac{2^{2z-1}
\cdot \sqrt{\pi}}{\cos(z\pi)},$$
para todos los $z \notin -\mathbb{N}$$z \neq n-1/2, \ n \in \mathbb{Z}$. Usted puede obtener su resultado por $z:=2/10.$
Y realmente en el pasado otros relacionados con la fórmula es la siguiente
$$\frac{\Gamma\left(\frac{2}{15}\right)\Gamma\left(\frac{7}{15}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{10}\right)}=\frac{\sqrt[10]{3} \cdot \sqrt[5]{2} \cdot \sqrt{\pi}}{\phi}.$$
Esto es aún más interesante, porque con la misma idea que usted tiene que utilizar la multiplicación de la fórmula dos veces para $3z$ y también para $2z$ y después de que la reflexión de la fórmula. Debido a que la ecuación de $6z=z+2/3$ sólo tiene una solución, y es $2/15$, por eso $2/15$ tiene un papel muy importante en la fórmula, y este problema no tiene una generalización como la que me dio anteriormente. Me podría imaginar otras formas de generalizar, pero no iba a ser agradable.
