Derivados de una serie de funciones monótonas

Question

Supongamos que $(f_n)$ es una secuencia monótona no decreciente funciones en $[a,b]$ tal que $f(x) = \sum_{n=1} ^\infty f_n (x)$ es finito para cada una de las $x\in [a,b]$. Por Lebesgue del teorema de monotonía de las funciones, cada una de las $f_n$ es derivable en casi todas partes, y es claro que $f$ es monótona, así que $f$ es también diferenciable de una.e.

Debe ser el caso que $\sum_{n=1} ^\infty f_n' = f'$ en casi todas partes? Sé que para cada uno de los $N$, y para cada una de las $h \in \mathbb R$, $ \frac{1}{h}\sum_{n=1} ^N [f_n(x+h) - f(x)] \leq \frac{1}{h}\sum_{n=1} ^\infty [f_n(x+h) - f(x)] $ y tomando el límite cuando $h \rightarrow 0$ da $\sum_{n=1} ^N f_n '\leq f'$, y por lo $\sum_{n=1} ^\infty f_n ' \leq f'$. Es la inversa de la desigualdad también verdad?

Answer 1

Sí, la igualdad, tiene casi todas partes. Por el bien de la conveniencia de asumir que $f_n \geq 0$ todos los $n$, de lo contrario pointwise asumir la convergencia absoluta de la serie, de modo que podemos reemplazar$f_n$$f_n - f_n(a) \geq 0$.

Poner $$F_N = \sum_{n=1}^{N} \; f_n$$ so that $F_N \f$ en todas partes y monótonamente.

Elegir un aumento de la secuencia de $\{N_k\}_{k=1}^{\infty}$ tal que $0 \leq f(b) - F_{N_k}(b) \leq 2^{-k}$. Entonces tenemos $$ \sum_{k=1}^{\infty} \left(f(b) - F_{N_k}(b)\right) \leq 1. $$ Ahora ponga $$ g(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \left(f(x) - F_{N_k}(x)\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=N_k+1}^{\infty} f_{n}(x). $$ Observar que en el interior de las sumas $\sum_{n=N_k+1}^{\infty} f_{n}(x)$ son monótonamente creciente de las funciones de $x$, lo $0 \leq g(x) \leq g(b) \leq 1$ todos los $x \in [a,b]$, lo $g$ está en todas partes definidas y monótonamente creciente, también. Por lo tanto, $g$ es derivable en casi todas partes, y su argumento muestra además que $$ 0 \leq \sum_{k=1}^{\infty} \left(f'(x) - F_{N_k}^\prime(x)\right) \leq g'(x) $$ en casi todas partes. Desde los sumandos de una serie convergente debe tender a cero, esto significa que en estos puntos $F_{N_{k}}^\prime (x) \to f'(x)$$k \to \infty$, como se desee.

Nota: esto lo aprendí argumento de Fremlin, Teoría de la Medida, Volumen 2, Ejercicio 222Y a), página 62.