Suponga que$f'(x)g(x)=f(x)g'(x)$ y$g(x)\ne 0$ en (a, b). ¿Cómo se relacionan$f$ y$g$?

Question

Suponga que$f'(x)g(x)=f(x)g'(x)$ y$g(x)\ne 0$ en (a, b).

¿Cómo se relacionan$f$ y$g$?

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He publicado este anterior y eliminado accidentalmente.

Pero hasta ahora, tengo:

Dejar

A continuación,$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ $

Como$$h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$, propongo que reemplazemos$f'(x)g(x)=f(x)g'(x)$ en$f(x)g'(x)$ y obtenemos

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

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¿Es suficiente, entonces, decir que$h'(x)$ y$$h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f'(x)g(x)}{(g(x))^2}$ son constantes en$$=\frac{0}{(g(x))^2}$?

Answer 1

En su regla de cociente, debe ser$(-)$. Ahora, utilizando la suposición,$h^\prime(x)=0$ on$(a,b)$. ¿Qué se puede concluir sobre$h$ on$(a,b)$?

Answer 2

Recuerde su definición de h. Usted acaba de lograr demostrar que:$$\frac{d}{dx}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$ $ Esto implica:$$f(x) = Cg(x)$ $ Donde C es cualquier constante.