Homeomorfismo de compactificación de piedra Cech implica homeomorfismo de compactación real

Question

Me preguntaba: Si $\beta X$ es homeomórficos a $\beta Y$, es cierto que $\nu X$ es homeomórficos a $\nu Y$?

Notación: Si $f: X\rightarrow \mathbb R$, se denota la extensión por $f^\alpha: \beta X\rightarrow \mathbb R \cup \{\infty\}$

He intentado probarlo pero creo que esto no va a funcionar: he intentado mostrar que si $\phi$ es el homeomorphism, entonces la restricción a $\nu X$ será nuestro homeomorphism. Así que en primer lugar, vamos a tratar de demostrar que un verdadero punto de $\beta X$ es un verdadero punto de $\beta Y$: Supongamos $f \in C(Y)$. A continuación,$f \circ \phi \in C(X)$. He intentado mostrar que $f^\alpha \circ \phi = (f \circ \phi)^\alpha$, de modo que siga fácil. Para hacerlo, he intentado mostrar que estas funciones restringidas a $X$ son el mismo, pero creo que sólo puedo decir que si $\phi: X\rightarrow Y$. Entonces empecé a pensar que esta proposición es falsa y decidió preguntarle a alguien.

Es esto cierto?

Answer 1

Es falso. Dejar $X=\mathbb R$, $Y=\beta \mathbb R$. Entonces$\beta X \approx \beta Y$ pero$\nu X \approx \mathbb R$ ya que$\mathbb R$ es realcompact y$\nu Y\approx \beta \mathbb R$ ya que$\mathbb \beta \mathbb R$ es compacto y por lo tanto realcompact. Pero$\mathbb R \not \approx \beta \mathbb R$ ya que el segundo es compacto y el primero no lo es.