¿Lo que necesitamos definir una categoría?

Question

He utilizado algunos de los resultados de la categoría de teoría, sin pensar en sus fundamentos. Sin embargo, después de leer un par de temas en el MSE, este tema me persigue.

Mi pregunta es:

¿Qué necesitamos para definir una categoría?

Según algunos libros, una categoría se compone de una clase de $\text{Obj}$ de los objetos y un conjunto de $\text{Hom}$ de morfismos que satisfacer algunos axiomas. Para mí, esto significa, que para definir una categoría necesitamos un poco de la teoría de conjuntos. Pero hay muchas diferentes teorías. Levantan categoría diferente de las teorías?

También, como yo lo entiendo, cuando estamos hablando de categorías específicas, como $\text{Set}$, $\text{Grp}$,... nos referimos a los modelos (interpretaciones) de los axiomas de una categoría. Es correcto?

Answer 1

Primero, uno tiene que adoptar una fundación de matemáticas para definir un conjunto, la categoría, y otros objetos matemáticos!

Diferentes fundaciones dar categoría diferente de las teorías. Algunos 'categorías', que se llaman grandes en una fundación, que no existe en otro, por ejemplo, el functor categoría entre dos grandes categorías y la localización de una categoría con respecto a una clase adecuada (grande) de sus morfismos. Los significados de los términos (pequeño) establecer y (correcta) de la clase, y las operaciones que puede realizar sobre ellos, dependen de la adopción de la fundación. Shulman la teoría de conjuntos para la categoría de teoría y Mac Lane, Un universo como una fundación para la categoría de la teoría de discutir el efecto de la fundación en la resultante de la categoría de teoría, aunque este último está más centrado en las ventajas específicas de la fundación.