Con frecuencia en redes

Question

Que $(x_\alpha)_{\alpha \in I}$ sea una red con elementos $x_{\alpha}$ en un conjunto contable $A$. Suponga que ningún elemento de $A$ es con frecuencia en $(x_\alpha)_{\alpha \in I}$. ¿Es cierto que hay un subconjunto infinito $B \subseteq A$ modo que para cualquier subconjunto infinito $C \subseteq B$ $C$ con frecuencia en $(x_\alpha)_{\alpha \in I}$? Es decir, $\forall \alpha \in I$, $\exists \beta \gtrsim \alpha$ de % que $x_\beta \in C$.

Creo que esto es cierto pero no puede encontrar una prueba. Es difícil porque las redes son muy diferentes de secuencias.

Answer 1

No es cierto, en general.

Equipar $A$ con la topología discreta y deje $\beta A$ ser su Piedra–Čech compactification. Corregir algunos $p \in \beta A \setminus A$. Desde $A$ es denso en $\beta A$, hay una neta $(x_\alpha)_{\alpha \in I} \subset A$ que converge a $p$.

Supongamos $x \in A$. Desde $\beta A$ es Hausdorff, $\{x\}$ es cerrado en $\beta A$. Por lo $\beta A \setminus \{x\}$ es una vecindad de a $p$. Como tal, $(x_\alpha)$ es el tiempo en $\beta A \setminus \{x\}$, por lo que no es el caso que $x$ es con frecuencia en $(x_\alpha)$. Por lo tanto $(x_\alpha)$ satisface la deseada hipótesis.

Deje $B$ ser cualquier subconjunto infinito de $A$, y deje $C_0, C_1$ ser cualquiera de los dos disjuntas infinitos subconjuntos de a $B$. Deje $f : A \to \{0,1\}$ ser cualquier función que se asigna a$C_0$$0$$C_1$%#%; nota: $1$ es continuo desde $f$ es discreto. Por la característica universal de $A$, $\beta A$ tiene una extensión continua $f$.

Supongamos primero que $g : \beta A \to \{0,1\}$. Por continuidad tenemos $g(p) = 0$, lo que significa que $g(x_\alpha) \to 0$ eventualmente. Desde $g(x_\alpha) = 0$ no es el caso que $g(C_1) = 1$ es con frecuencia en $x_\alpha$.

Del mismo modo, si tenemos $C_1$, entonces no es el caso que $g(p)=1$ es con frecuencia en $x_\alpha$.

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Alternativa:

Deje $C_0$ ser cualquier subconjunto infinito de $B$. Por el lema de abajo, $A$ tiene al menos dos límite de puntos, por lo que en particular tiene un punto límite $B$. Desde $q \ne p$ es Hausdorff, $\beta A$ han desunido abrir los vecindarios $p,q$. Deje $U,V$, que es infinito porque $C = B \cap V$ es un punto límite de $q$. Como antes, $B$ es el tiempo en $(x_\alpha)$, que es disjunta de a $U$. Por lo que no es el caso que $C$ es con frecuencia en $C$.

Lema. Cada subconjunto infinito $(x_\alpha)$ $B$ tiene al menos dos límite de puntos en $A$. (En realidad, se puede demostrar que se ha $\beta A$ muchas límite de puntos, ver el Resultado 4 aquí.)

Prueba. Partición de $2^{\mathfrak{c}}$ en dos infinitos subconjuntos $B$. Considere la función continua $B_0, B_1$ que se asigna a$f : A \to \{0,1\}$$B_0$$0$%#%. Por la característica universal de $A \setminus B_0$, $1$ tiene una extensión continua $\beta A$. Deje $f$$g : \beta A \to \{0,1\}$, de modo que cada una de las $E_i = g^{-1}(\{i\})$ es compacto y $i=0,1$. Por lo tanto cada una de las $E_i$ tiene un punto límite $B_i \subset E_i$$B_i$. Necesariamente $q_i$ son distintos, ya que $E_i$ son distintos, y $q_1, q_2$ son tanto el límite de puntos de $E_1, E_2$.

Answer 2

No tengo una respuesta, pero puedo conseguir una versión limitada del resultado. Y que puede dar a los demás idea de por qué puede o no ser cierto.

Su resultado es true si el dominio $D$ de la utilidad neta $\Phi$ es una contables set $d_1, d_2, \ldots$. (Aquellos orden no tiene nada que ver con el conteo.)

Tendremos $B = \Phi(E)$ donde $E$ es para ser descubierto. Su primer elemento es $d_1$. Si ya hemos elegido $e_1, \ldots, e_n$ entonces volvemos $e_{n+1}$ a ser el primer elemento en el conteo de $D$ $\ge$ a cada elemento, hasta e incluyendo la $e_n$, y se asigna a algo distinto a $\Phi(e_1), \ldots, \Phi(e_n)$. Esto siempre existe, porque ninguno de ese número finito de puntos es un punto de acumulación, y siempre podemos encontrar algo en el dominio de que es más grande que cualquier conjunto finito de puntos.

Ahora $B$ es un conjunto infinito. Y para cualquier subconjunto infinito $C$$B$, y cualquier elemento $d$ de la de dominio, todos excepto un número finito de elementos de $C$ son la imagen de algo que es $\ge d$.

(Por supuesto el caso de que usted está probablemente interesado en un incontable de dominio $D$, pero este es el argumento que se me ocurrió...)