¿Cuál es el número esperado de tirones de una moneda injusta hasta que tenga 2 cabezas más que colas?

Question

$p$ es la probabilidad de cabezas. Nota Si $p \le 0.5$, la respuesta es infinito, por lo tanto asumir $p > 0.5$.

¿Cuál es el número esperado de tirones de la moneda donde tenemos 2 cabezas más que colas?

Tenga en cuenta que dejaría la moneda los bancos cuando usted por primera vez la situación donde tienes 2 cabezas más que colas.

Answer 1

Nosotros sólo necesitamos para mantener un registro de la diferencia entre el número de cabezas, y el número de colas. Por otra parte, el tiempo que toma para aumentar esta diferencia por $2$ es el doble del tiempo que se necesita para aumentar esta diferencia por $1$.

Así que vamos a llamar a $x$ el tiempo que se tarda en ir de una diferencia de $k$ a una diferencia de $k+1$: por ejemplo, el tiempo que toma desde el inicio hasta que haya volteado de cabeza una vez más de las colas.

Después de la primera coinflip, estamos bien hecho (con una probabilidad de $p$), o que se han hecho progresos en la dirección equivocada y tener una diferencia de $2$ a compensar (con probabilidad $1-p$). Así tenemos $$x = 1 + (1-p) \cdot 2x$$ or $x = \frac1{2p-1}$.

La respuesta que queremos es $2x = \frac2{2p-1}$.

Answer 2

Esto se corresponde con el cálculo de la expectativa de que el primer paso del tiempo de una relación asimétrica de una dimensión de paseo aleatorio. Creo que hasta el asimétrica unidimensional de paseo aleatorio satisface la (fuerte) de Markov de la propiedad, por lo tanto, podemos asumir que el paseo aleatorio "comienza" a cada paso. (Ver p. 4)

I. e. si $T(1)$ es la variable aleatoria que indica la primera vez que tenemos uno más en la cabeza de la cola, luego se $T(2)$ es la suma de dos copias independientes de $T(1)$. Así, por la linealidad de la expectativa: $$\mathbb{E}[T(2)]=\mathbb{E}[T(1)]+\mathbb{E}[T(1)]=2\mathbb{E}[T(1)]. $$

Ahora, $\mathbb{E}[T(1)]$ es mucho más fácil de calcular. De acuerdo a este documento (p.3 & p.5), $$\mathbb{E}[T(1)] = \Phi'(1)\,, \quad \text{where} \quad \Phi(t) = \frac{1 - \sqrt{1-4p(1-p)t^2}}{2(1-p)t} $$ i.e. $$\mathbb{E}[T(1)] = \frac{1 }{2p-1} \quad (p > \frac{1}{2})\,.$$ (In the document, $N= T(1)$.)