$\phi \mapsto \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\mathbb{R}^n} \frac{\phi (x)}{\left \Vert x \right \Vert-1 + i\epsilon}$ es una distribución

Question

Quiero mostrar que $$\phi \mapsto \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\mathbb{R}^n} \frac{\phi (x)}{\left \Vert x \right \Vert-1 + i\epsilon}$ $ es una distribución $x \in \mathbb{R}^n$, $\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ en el espacio de Schwartz y $\left \Vert \cdot \right \Vert$ la norma euclidiana. Creo que para el caso unidimensional esto debe seguir de la teoría de los valores de principio de Cauchy pero no estoy seguro.

Answer 1

Primero escribir la integral en coordenadas polares, entonces se puede afirmar que sólo hay que preocuparse por el caso unidimensional: %#% $ $$ \phi \mapsto \lim_{\epsilon\to 0} \int_0^\infty \frac{\phi(r)}{r-1+i\epsilon} dx ,$ #% Dónde está cero fuera de un pequeño neirghborhood de $\phi:(0,\infty) \to \mathbb C$.

Que $0$ sea una función que es $\psi$ en un pequeño barrio de $1$ y cero fuera de un barrio un poco más grande de $1$. Escriba $1$ $ donde $ $$ \phi(r) = \phi_1(r) + \phi_2(r) ,$ $ de $$ \phi_2(r) = \psi(r) \left[ \sum_{k=0}^m \frac{\phi^{(k)}(1)}{k!} (r-1)^k \right] ,$ y calcular la integral en cada una de las dos partes.

Proporcionaremos más detalles bajo petición.