Pensé que el significado de $$ \frac { \partial f(x, y, z)}{ \partial x} $$ es la diferenciación en $x$ con fijo $y$ y $z$ . Así que $(x, y, z)$ en el numerador es sólo decir qué variables son fijas. Si necesito indicar dónde se evalúa el derivado, lo escribo a la derecha de una barra vertical como subíndice. Pero hoy mi profesor usó $(x, y, z)$ en el numerador para indicar dónde se evalúa el derivado. Así, por ejemplo, $$ \frac { \partial f(0, 0, 0)}{ \partial x} $$ significa $$ \frac { \partial f(x, y, z)}{ \partial x} \bigg\rvert_ {x=0,y=0,z=0} $$ ¿Es una convención estándar? Si es así, ¿cuál es el significado de ¿Esto? $$ \frac { \partial f(x, y, g(x, y))}{ \partial x} $$ Tengo dos candidatos. Uno es un derivado parcial de la composición de $f$ y $g$ donde $g$ tiene algún valor fijo, y el otro es el derivado parcial de $f$ en $x$ evaluado en $(x, y, g(x, y))$ . Creo que los dos no son lo mismo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Felicidades, has encontrado una de las peores ambigüedades en la notación matemática!
Suponga que tiene una función de dos variables, $f \colon A \times B \to \mathbb {R}$ donde $A$ y $B$ son subconjuntos de $ \mathbb {R}$ . La notación $$ \frac { \partial f}{ \partial x}(x_0,y_0)$$ se utiliza comúnmente para denotar la valor del derivado parcial de $f$ con respecto a la primera variable, evaluado en $(x_0,y_0)$ . Este es el uso más limpio de la notación para derivados parciales.
De todos modos, a veces se utiliza algún tipo de notación perezosa como $$ \frac { \partial f(x,g(x,y))}{ \partial x}$$ para denotar la derivada parcial del mapa $(x,y) \mapsto f(x,g(x,y))$ . Esto es incompatible (en general) con la interpretación de la misma fórmula que
El derivado de $f$ con respecto a la primera variable, evaluado en el punto $(x,g(x,y))$ .
Esto es malo, pero parece que tenemos que vivir con ello. ¿Por qué? Sólo pasa un par de minutos y piensa en la segunda interpretación. Para ser rigurosos, deberíamos haber escrito $$ \frac { \partial }{ \partial x} \left ( f \circ \left ( (x,y) \mapsto (x,g(x,y)) \right ) \right ) (x,y), $$ que es una verdadera pesadilla.
Creo que la respuesta de Siminore es buena. Pero revisé algunos libros de texto sólo por curiosidad.
- "Cálculo avanzado" de Folland utiliza la notación como $ \partial_x f(0, 0)$ . Por supuesto el significado es el derivado parcial de $f$ w.r.t. $x$ evaluado en $(0, 0)$ . No utiliza la notación $ \partial f(0, 0) / \partial x$ extensamente pero hay un comentario de que puedes usar la notación.
- "Cálculo avanzado" de Kaplan y "El camino del análisis" de Strichartz también siguen la misma convención.
- "Análisis matemático real" de Pugh utiliza la notación $ \partial f(0, 0) / \partial x$ y en algún lugar utiliza $ \partial f(x, g(x)) / \partial x$ para denotar el derivado parcial de $f$ w.r.t. $x$ evaluado en $(x, g(x))$ . No significa el derivado de la función compuesta.
- También revisé "Principios de análisis matemático" de Rudin. Parece que para evitar la notación $ \partial f(a, b) / \partial x$ . En su lugar dice " $ \partial f / \partial x$ en $(a, b)$ ". Sin embargo, en realidad sólo encontré un caso de este tipo. No hay mucho uso de la notación redonda.
- "Métodos matemáticos para los físicos" de Afken utiliza la notación $ \partial f(x, 0)/ \partial t$ para denotar $ \partial f(x, t)/ \partial t |_{t = 0}$ . Utiliza las dos notaciones indistintamente.
Por lo tanto, el caso de uso de su profesor es bastante común.
Parece que nadie ha mencionado que en realidad hay una notación totalmente inequívoca para tratar este problema, aunque no es de uso muy común:
$( \partial_1 f)(a,b,c) = \left. \dfrac { \partial f(x,y,z)}{ \partial x} \right |_{(x,y,z)=(a,b,c)}$ .
El " $1$ " aquí indica que $f$ se diferencia con respecto al primer parámetro. Esto es mucho mejor que usar algo como " $ \partial_x $ " donde el $x$ se utiliza a menudo como una variable también y por lo tanto no puede servir bien para indicar qué parámetro $f$ se diferencia con respecto a.
- Sí, $ \frac { \partial f(x,y,z)}{ \partial x}$ es un derivado del WRT. $x$ en el fijo $y,z$ .
- $ \frac { \partial f(0,0,0)}{ \partial x}$ no es una notación estándar. Estrictamente hablando, debería ser cero, porque $f(0,0,0)$ es una constante que no depende de $x$ . A veces, sí, se utiliza como una forma de abreviar $ \frac { \partial f(x,y,z)}{ \partial x}|_{x=y=z=0}$ . Pero sólo debes hacerlo si está extremadamente claro en el contexto lo que quieres decir. Generalmente, evita esta notación.
- La tercera expresión es un derivado w.r.t. $x$ pero $x$ aparece dos veces en el numerador. Usando las reglas de derivación estándar puedes calcular $$ \frac { \partial f(x,y,g(x,y))}{ \partial x} = \frac { \partial f(x,y,z)}{ \partial x} \bigg\rvert_ {z=g(x,y)} + \frac { \partial f(x,y,z)}{ \partial z} \bigg\rvert_ {z=g(x,y)} \cdot \frac { \partial g(x,y)}{ \partial x}$$
La primera interpretación no es correcta, ya que no hay forma de dar $g$ algún valor fijo si depende de $x$ . La segunda interpretación es correcta pero está redactada de forma confusa, así que déjame aclararlo.
Considere la función $h(x,y)=f(x,y,g(x,y))$ . Luego $$ \frac { \partial f(x,y,g(x,y))}{ \partial x}= \frac { \partial h(x,y)}{ \partial x}. $$ El resultado es una función de dos variables, llámalo $k(x,y)$ . Para calcular, por ejemplo. $k(x,5)$ que se computarían $$ k(x,5)= \frac {d}{dx}f(x,5,g(x,5)). $$ Es un derivado en el sentido usual, ya no es un derivado parcial. Por la regla de la cadena, podemos calcular $k(x,5)$ de la siguiente manera: $$ k(x,5)=f_x(x,5,g(x,5)) + f_z(x,5,g_x(x,5)). $$ No hay nada especial en el número $5$ podría ser cualquier cosa. Así que reemplazar $5$ con $y$ obtenemos la fórmula $$ \frac { \partial f(x,y,g(x,y))}{ \partial x}=f_x(x,y,g(x,y)) + f_z(x,y,g_x(x,y)). $$
