¿Que es más grande, $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ o $\sqrt{2} + \sqrt{6}$?

Question

Es la pista dada por el texto "utilizar el hecho de que $\sqrt{x}$ está aumentando."

Pude obtener la respuesta correcta aquí por cuadratura ambas expresiones. Pero no creo que hice uso de la pista de texto favorablemente, por lo que estoy preguntando si tal vez me falta la lección "más profunda".

¿Qué crees que el autor está haciendo alusión a una?

¡Gracias!

Answer 1

Sugerencia: Más fácil mostrar que $$\sqrt{6}-\sqrt{5}<\sqrt{3}-\sqrt{2}$ $

Answer 2

La operación de enraizamiento de Plaza en números positivos es una asignación estrictamente creciente. Esto significa eso si $x^2 < y^2$, puede concluir $x < y$. Esta es la definición de estrictamente creciente:

$$a < b \implies f(a) < f(b)$$

Mediante la comparación de los cuadrados de los números en lugar de números, están usando la pista incitada.

Answer 3

Ya que $x\mapsto\sqrt{x}$ es una función creciente que tenemos los siguientes\begin{align*} 2\sqrt{15}&>2\sqrt{12}\\ 8+2\sqrt{15}&>8+2\sqrt{12}\\ 3+2\sqrt{15}+5&>2+2\sqrt{12}+6\\ (\sqrt{3}+\sqrt{5})^2&>(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2 \end{align*} por lo tanto, $\sqrt{3}+\sqrt{5}>\sqrt{2}+\sqrt{6}$.

Answer 4

Cuadrada de ambos lados. Tienes $$ \sqrt{3} + \sqrt{5} \mathrel{?} \sqrt{2} + \sqrt{6}.$ $ cuadratura le consigue %#% $ de #% pelado te obtener $$ 8 + 2\sqrt{15} \mathrel{?} 8 + 2\sqrt{12};$ $

Ahora está del todo claro.

Answer 5

Plaza de los dos números y estamos salimos para comparar $8+2\sqrt{15}$ y $8+2\sqrt{12}$. Porque está aumentando el $\sqrt{x}$ tenemos

$$\sqrt{12}\lt \sqrt{15}$$

$$8+2\sqrt{12}\lt 8+2\sqrt{15}$$

Y por lo tanto

$$\sqrt{2}+\sqrt{6}\lt \sqrt{3}+\sqrt{5}$$