Norma expresa en $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$

Question

¿Conoces una norma explícita en $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$? ¿Usando el axioma de elección, cada espacio vectorial admite una norma pero tiene una fórmula explícita en $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$?

¿Una pregunta relacionada es: podemos nosotros probamos que $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ tiene una norma sin el axioma de elección?

Answer 1

La respuesta es no. No hay ninguna norma explícita en $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$; construcción de cualquier norma en este espacio requiere el axioma de elección para ser utilizado de una manera esencial.

En mi respuesta a la pregunta (nueva) producto interno en $C(\mathbb R)$, demuestro que es consistente con ZF + DC que no existe una norma en el espacio del vector $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ (llamado $C(\mathbb{R})$ en esa pregunta).

Answer 2

Refinación @Mebat la respuesta: el seminorms en $C^o(\mathbb R)$ (aquí se quiere decir ser continua, con un valor real de las funciones de $\mathbb R$, sin caries o acotamiento restricciones) dado por $\nu_K(f)=\sup_{x\in K} |f(x)|$ compacto subconjuntos $K$$\mathbb R$, dar un Frechet-espacio (completa, localmente convexo, métrica) estructura $C^o(\mathbb R)$. Como @Mebat notas, hay una contables subconjunto, por ejemplo, $[-n,n]$ de pactos que dan que la topología. Luego de la habitual truco de escribir $$ d(f,g)=\sum_n {1\over 2^n}\cdot {\nu_{[-n,n]}(f-g)\más de 1+\nu_{[-n,n]}(f-g)} $$ da una (no canónica) métrica.

Significativamente, esto hace que $C^o(\mathbb R)$ completa. Casi siempre se quieren "dar" TELEVISORES de topologías con la mejor integridad de las propiedades posibles.

Pero esto no es una norma, sólo una métrica.

Hay un razonable criterio de normability de TV (una vez a la topología), es decir, que en cada barrio de $0$ es "absorber", lo que significa que lo suficientemente grande dilata contienen un determinado conjunto acotado. En el presente ejemplo, el hecho de que las funciones continuas se puede volar de forma arbitraria rápido permite la construcción de contra-ejemplos para una reclamación de normability, con los naturales de la topología.

Answer 3

Aquí algunas ideas para encontrar una norma explícita en $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$. Si definimos $\Vert\cdot\Vert$ como $$\Vert f\Vert=\sup_{x\in\mathbb{R}} \,\,\frac{\vert f(x)\vert}{1+\vert f(x)\vert}$$ para cada $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R},\mathbb{R})$, entonces:
(i) $\Vert f\Vert=0$ fib $f=0$
(ii)$\Vert f+g\Vert\leq\Vert f\Vert+\Vert g\Vert$
pero (iii) $\Vert \alpha f\Vert=|\alpha|\Vert f\Vert$, no está satisfecho.

Para reparar (iii) podemos hacer lo siguiente. Considerar en $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ la relación $\sim$ define de la siguiente manera: para $f,g \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$, $f\sim g $ fib $\exists c\in\mathbb{R}, c\neq0$ tal que $f=cg$. Esta es una relación de equivalencia. Entonces tenemos una partición de $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ en las clases. Denotar por $[f]$ la clase de $f\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$. La clase de la constante cero de la función es el singleton $\{0\}$. Observe que si $a\in \mathbb{R}$ es tal que $f(a)\neq0$, $g(a)\neq0$ por cada $g\in[f]$. Por lo tanto, para cada clase de $F=[f]$ diferente de la $[0]$, se puede elegir $\alpha_F\in\mathbb{R}$ tal que $f(\alpha_F)\neq0$ por cada $f\in F$. Ya hemos elegido los números de $\alpha_F$, ahora podemos elegir un representante de la función para cada clase de una manera única. Para cada clase de $F=[f]\neq[0]$ no es una función única $\hat{f}\in F$ tal que $\hat{f}(\alpha_F)=1$. Poner $\hat{0}=0$. Ahora podemos definir la $\Vert\cdot\Vert$ $\mathcal{C}_0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ mediante el establecimiento de

$$\Vert f\Vert=\sup_{x\in\mathbb{R}} \,\,\frac{\vert f(x)\vert}{1+\vert \hat{f}(x)\vert}$$ para cada $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R},\mathbb{R})$.

Esto satisface (i) y (iii), sino que hemos perdido (ii). Si pudiéramos elegir cada una de las $\hat{f}$ de tal manera que $\vert\widehat{(f+g)}(x)\vert\leq\vert\hat{f}(x)\vert+\vert\hat{g}(x)\vert$ todos los $x\in\mathbb{R}$, y para todos los $f,g\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R},\mathbb{R})$, entonces la función de $\Vert\cdot\Vert$ resultante será una norma.