¿Es posible una singularidad con masa cero?

Question

Una singularidad, según la definición que conozco, es un punto en el espacio con infinito de una propiedad como la densidad.

La densidad es masa/volumen.

Como el volumen de una singularidad es 0, entonces la densidad será infinita porque Masa/0 = indefinida

Sin embargo, ¿es posible una singularidad con masa 0? 0/0 es indeterminado, pero ¿sería posible que existiera una singularidad aunque su masa y su volumen fueran cero?

Answer 1

Puede tomar un Solución Reissner-Nordström para el agujero negro no giratorio cargado, y poner su masa $m=0$ . Entonces se convertiría en un _singularidad desnuda_ . Más concretamente, la singularidad es un punto en el que algún valor termina en el infinito, mientras que la densidad de masa es sólo una opción.

Para más información sobre las soluciones de Reissner-Nordstrom y Kerr-Newman, véase Hawking, Ellis: La estructura a gran escala del espacio-tiempo .

Actualización: La solución Reissner-Nordström en algunas coordenadas, dada en Hawking, Ellis, tiene una forma:
$$ds^2=-\bigl(1-\tfrac{2m}{r}+\tfrac{e^2}{r^2}\bigr)dt^2+\bigl(1-\tfrac{2m}{r}+\tfrac{e^2}{r^2}\bigr)^{-1}dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2)$$ Podemos ver que depende de una función $F(r)=1-\tfrac{2m}{r}+\tfrac{e^2}{r^2}$ . Es positivo en el infinito, tiende a $+\infty$ en cero, y puede ser totalmente positivo o no, dependiendo del signo de $e^2-m^2$ . En particular, podemos suponer $m=0$ y la función será esencialmente la misma que en el caso $0<m^2<e^2$ . Sólo que no aumentaría en ninguna parte - las consecuencias físicas de ello no las tengo claras. Nada más le ocurriría a esa función y a esa solución en ese punto.

Incluso podemos considerar $m<0$ y aún así tener una solución correcta a las ecuaciones de Einstein-Maxwell. Aquí $m$ sólo tiene el sentido de la constante de integración. Estas opciones son inútiles si buscamos una métrica para describir el espacio vacío fuera de algún cuerpo esférico masivo no cargado, pero si hablamos de singularidades desnudas - ¿qué sabemos de las propiedades de tales singularidades? Deberíamos examinar todas las posibilidades.

Answer 2

Es una gran pregunta, aunque por desgracia resulta muy difícil interpretarla de forma que permita una respuesta definitiva. La pregunta es ambigua debido a la forma en que se define la masa en la relatividad. Por la forma en que está planteada la pregunta, supongo que el OP no tiene mucha formación técnica en relatividad. Sin embargo, no hay forma de resolver las ambigüedades de la pregunta sin ponerse muy técnico.

En relatividad, "masa" significa realmente masa-energía. La masa no es aditiva. Por ejemplo, un fotón tiene masa cero, pero consideremos un sistema formado por un fotón que se mueve hacia la derecha y otro fotón de igual energía que se mueve hacia la izquierda. Este sistema tiene una masa distinta de cero. Esto se deduce de la definición de masa inercial en relatividad especial según la ecuación $m^2=E^2-p^2$ en unidades con $c=1$ .

En la RG, la fuente de curvatura no es la densidad masa-energía, sino el tensor tensión-energía. Algunas de las componentes del tensor tensión-energía corresponden a la presión y no a la densidad de masa-energía $\rho$ .

La masa total (es decir, la masa-energía) de un sistema en RG no siempre es algo bien definido. Para un espaciotiempo arbitrariamente elegido, no hay forma de definir la masa total. Hay definiciones de masa que funcionan (es decir, se conservan y son escalares) en casos especiales, como un espaciotiempo asintóticamente plano. Por ejemplo, está la masa ADM.

Si queremos definir la densidad masa-energía $\rho$ en un punto, podemos hacerlo. Es uno de los componentes del tensor tensión-energía. Sin embargo, aquí hay un par de limitaciones: (1) bajo un impulso de Lorentz, a $\rho=0$ puede transformarse en $\rho\ne0$ (2) una singularidad no es un punto en el espacio, es más bien un punto alejado del espacio, por lo que no podemos definir $\rho$ en una singularidad.

Así que para un espaciotiempo singular, no podemos definir la densidad de masa-energía en la singularidad, y en un caso típico y general, tampoco hay forma de definir la masa total. Se podría tener un espaciotiempo con una familia de observadores definida, uno en cada punto no singular del espaciotiempo, de tal forma que cada uno de estos observadores detecte $\rho=0$ ; sin embargo, otros observadores en diferentes estados de movimiento podrían medir $\rho=0$ . Esta ambigüedad sólo desaparece si todo el tensor tensión-energía desaparece, es decir, si se trata de una solución de vacío (no sólo de una solución electrovac como la métrica de Reissner-Nordström).

Probablemente es posible tener una singularidad tal que, en el marco de reposo de la singularidad, $\rho\rightarrow0$ a medida que te acercas a la singularidad, pero la presión se dispara hasta el infinito. (Esto no es coherente con la ecuación de estado de ninguna forma conocida de materia, y viola varias condiciones energéticas). Sin embargo, la afirmación de que $\rho\rightarrow0$ será falso en otros fotogramas.

Definitivamente es posible tomar un montón de ingredientes sin masa, como los fotones, mezclarlos (de modo que la colección en su conjunto tenga una masa distinta de cero), y luego dejar que colapsen gravitatoriamente en una singularidad. Pero entonces la masa ADM de la singularidad no será cero.

Hay singularidades de curvatura y singularidades cónicas. Para cualquier singularidad de curvatura, la energía almacenada en el campo gravitatorio que rodea la singularidad probablemente se mostrará como una masa ADM distinta de cero. Una singularidad cónica podría ser la mejor apuesta para una respuesta afirmativa a la pregunta si desea una masa ADM cero, así como un tensor de tensión-energía cero en todas partes. No sé con certeza si existe un espaciotiempo con estas propiedades en 3+1 dimensiones. No creo que puedan formarse singularidades cónicas por colapso gravitatorio en nuestro universo de 3+1 dimensiones.

Answer 3

Recuerdo una presentación (hace muchos años en el DAMPT) en la que el ponente afirmaba que la focalización de las ondas gravitatorias podía producir una singularidad de curvatura que guardaba ciertas similitudes con un agujero negro. He buscado rápidamente en Google y he encontrado este documento que hace referencia a dos artículos de Alekseev:

• Alekseev, G. A. y Griffiths, J. B. "Gravitational waves with spherical wavefronts", Classical and Quantum Gravity, 12, pp.L13-L18 (1995).

• Alekseev, G. A. y Griffiths J. B., "Exact solutions for gravitational waves with cylindrical, spherical and toroidal wavefronts", Classical and Quantum Gravity 13, pp. 2191-2209 (1996).

Lamentablemente, ninguno de ellos está en Arxiv y no puedo encontrar copias que no sean de pago, así que no estoy seguro de que se ajusten a sus criterios. Aún así, a menos que mi memoria me esté fallando, parece una forma físicamente razonable de crear una singularidad sin que haya masa presente.

Answer 4

FORMACIÓN DE AGUJEROS NEGROS En el nanosegundo final de la formación de un agujero negro, esencialmente toda la materia confinada dentro de la envoltura de una esfera de Schwarzschild en desarrollo (sea cual sea su tamaño) ya no puede transformarse en energía cinética de partículas. La relatividad especial NO permite que un sistema inercial supere la velocidad de la luz; y las partículas que colisionan a velocidades cercanas a la de la luz no pueden absorber un mayor aumento del impulso producido por las fuerzas gravitatorias. En este punto, la energía gravitatoria se transforma directamente en radiación (entropía) y no en momento de las partículas.

Este acontecimiento crítico, que representa un cambio de estado de materia a radiación, va precedido de un aumento exponencial del momento de las partículas confinadas en el volumen de una estrella en contracción (o de cualquier objeto). A medida que la velocidad de las partículas se acerca a la velocidad de la luz, y a medida que la distancia y el tiempo entre colisiones de partículas se acercan a cero, la densidad energética de un objeto en colapso alcanzará un límite en el que la transformación de la fuerza gravitatoria ya no podrá definirse en términos de colisiones de partículas. A medida que la distancia entre las partículas que colisionan se reduce, los factores de la mecánica cuántica exigen que la incertidumbre en el momento de las partículas aumente en consecuencia. En un punto crítico de esta combinación de acontecimientos, la distancia de colisión entre partículas ha disminuido a un rango nanométrico que corresponde a la frecuencia de colisiones de partículas; y las interacciones de partículas pueden expresarse en términos de una serie de funciones de onda mecánicas cuánticas discretas (distancia y tiempo entre colisiones de partículas) que se aproximan al valor restrictivo de "h" (la constante de Planck), produciendo una catástrofe mecánica cuántica potencial.

Para preservar la continuidad termodinámica, la termodinámica del sistema debe cambiar; en consecuencia, la materia particulada se transforma en energía radiante mediante procesos de mecánica cuántica. La energía gravitatoria se expresa ahora en función de la energía radiante total distribuida sobre la superficie de la esfera de Schwarzschild resultante, y cualquier energía adicional que incida en el agujero negro produce una expansión del radio de Schwarzschild, manteniendo una densidad energética constante y una aceleración límite constante, lo que corresponde a una temperatura (de Unruh) constante.

Una pista de la transformación de la energía cinética en radiación se ve en la función: e^hf/KT (de la "llave" de Planck a la paradoja ultravioleta). En esta función, la energía cinética de las partículas, "KT", aumenta debido a un incremento de la velocidad de las partículas y de la temperatura efectiva de las partículas; la frecuencia de las colisiones de partículas, representada por "hf", aumenta con la densidad de las partículas debido a un mayor confinamiento gravitatorio dentro de un objeto de Schwarzschild en desarrollo (Agujero Negro). Pero la temperatura y la frecuencia no aumentan hasta el infinito, como cabría esperar de la relación de Planck.

La formación de un límite de Schwarzschild coincide con una aceleración máxima de las partículas y una temperatura máxima. Este acontecimiento crítico representa la máxima densidad de energía (y no la máxima energía) permitida por la naturaleza. Las temperaturas no pueden aumentar más allá de este punto crítico. En su lugar, estas variables se convierten ahora en constantes del agujero negro y se conservan en todos los agujeros negros, independientemente de su tamaño y energía total. Tras la formación de un agujero negro, la temperatura, la aceleración, la gravedad y la densidad de energía permanecen constantes en sus valores máximos... aunque se añada más energía y la envoltura de Schwarzschild aumente proporcionalmente.