¿$\simeq$Singular % de homología en celular?

Question

Debido a un arbitrario CW-complejos, son el singular complejo de cadena $S_\ast(X)$ y celulares de la cadena compleja $C_\ast(X)$ homotopy equivalente o simplemente cuasi-isomorfo (algunos de la cadena de mapa induce isomorphisms en homologías) o sólo han isomorfo homologías?

No puedo encontrar esto en el estándar AlgTop libros. Todas las referencias son bienvenidos.

Relacionado con: http://mathoverflow.net/questions/59390/when-is-a-quasi-isomorphism-necessarily-a-homotopy-equivalence

Answer 1

Usted encontrará este tipo de resultado en

Blakers, A. "Algunas relaciones entre homología y homotopy grupos". Ann. de Matemáticas. (2) 49 (1948) 428--461.

Estoy bastante seguro de que está en Massey, el libro de Homología Singular, de una cúbica punto de vista.

La proposición 14.7.1 de Nonabelian Topología Algebraica da una deformación de la singular cúbica complejo de un espacio en el que vino de una filtración, en las condiciones que se cumplen en el caso de un celular de filtración.

Después: Aquí está el detalle de la proposición. Para la cuestión que puede asumir la $X_*$ es el esqueleto de la filtración de un CW-complejo y $R X_*$ es la cúbica conjunto de celulares mapas de $I^n_* \to X_*$:

Deje $X_*$ ser filtrada espacio tales que las siguientes condiciones $\psi (X_*, m)$ mantener para todos los $m \geqslant 0$:

1. $\psi (X_*, 0) :$ El mapa de $\pi_0 X_0 \rightarrow \pi_0 X$ inducida por la inclusión es surjective;

2. $\psi (X_*, 1) :$ Cualquier ruta de acceso en $X$ que unen los puntos de $X_0$ es deformable en $X$ rel los puntos finales a una ruta en $X_1$;

3. $\psi (X*, m) (m \geqslant 2 ) :$ For all $\nu \en X_0$ , el mapa $$\pi_m (X_m , X_{m-1} , \nu ) \rightarrow \pi_m (X, X_{m-1} , \nu )$$ inducida por la inclusión es surjective.

A continuación, el la inclusión de $i \colon RX_* \rightarrow KX=S^\square X$ es un homotopy la equivalencia de la cúbico de conjuntos.

La prueba es bastante directa por inducción debido a la relativa homotopy grupos pueden ser definidos por los mapas de los cubos, y en cúbica conjuntos, homotopies se definen utilizando cubos.