serie como suma infinita

Question

Estoy en busca de la aproximación de la siguiente función:

%#% $ $$\rho(a,b)=1-e^{-(a+b)}\sum_{m=1}^{\infty}\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^m I_m(2\sqrt{ab})$ #% Dónde está la función de Bessel modificada. ¿$I_m(x)$ Es otra vez una serie infinita, hasta cuántos términos necesito hacer suma en ambos los casos para conseguir un mejor aproximación? ¿Hay alguna regla?

Answer 1

Si uno está interesado en expresar $\rho(a,b)$ con un solo resumen/operación de integración, se puede utilizar, para cada positivos $a$ $b$ tal que $b<a$, $$ \rho(a,b)=1+e^{-(a+b)}\int\limits_0^\pi e^{2\sqrt{ab}\cos\theta}\frac{b-\sqrt{ab}\cos\theta}{a+b-2\sqrt{ab}\cos\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}\pi. $$ Vea a continuación algunas fórmulas explícitas al $a=b$ o $a<b$.

Caso $b< a:$ Esto sólo utiliza la fórmula integral para funciones de Bessel modificadas con el parámetro entero, que dice que para cada entero $m$ y cada una de las $x$ con parte real no negativo, $$ I_m(x)=\int\limits_0^\pi e^{x\cos\theta}\cos(m\theta)\frac{\mathrm{d}\theta}\pi. $$ Escrito el coseno como la parte real de un complejo exponencial, y sumando esto a través de $m\ge1$ rendimientos, para cada número real $s$ tal que $|s|<1$, $$ \sum\limits_{m\ge1}s^mI_m(x)=\text{Re}\int\limits_0^\pi e^{x\cos\theta}\frac{se^{i\theta}}{1-se^{i\theta}}\frac{\mathrm{d}\theta}\pi. $$ Multiplicando el numerador y el denumerator por el conjugado cantidad $1-se^{-i\theta}$ y el uso de la relación $|1-se^{i\theta}|^2=1+s^2-2s\cos\theta$, uno ve que $$ \sum\limits_{m\ge1}s^mI_m(x)=\int\limits_0^\pi e^{x\cos\theta}\frac{s\cos\theta-s^2}{1+s^2-2\cos\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}\pi. $$ Conectar $x=2\sqrt{ab}$ $s=\sqrt{b/a}$ (por lo tanto, la restricción $b< a$) de los rendimientos de $\rho(a,b)$ anterior.

Caso $a=b$: Uno ve que $$ \rho(a,a)=1-e^{-2a}\sum\limits_{m\ge1}I_m(2a). $$ Utilizando el hecho de que $I_m(x)=I_{-m}(x)$ para cada entero $m$ y la fórmula (escrito en algún lugar de la página de WP ya se ha mencionado) para la generación de la función $$ \sum\limits_{m=-\infty}^{+\infty}I_m(x)\cos(m\theta)=e^{x\cos\theta}, $$ en $\theta=0$, uno ve que $$ \rho(a,a)=\frac12+\frac12e^{-2a}I_0(2a)=\frac12+\frac12e^{-2a}\int\limits_0^\pi e^{2a\cos\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}\pi. $$ Caso $a<b$: Comparación de $\rho(a,b)+\rho(b,a)$ con la generación de la función de la familia $(I_m(x))$ que hemos recordado más arriba, uno se $$ \rho(a,b)+\rho(b,a)=1+e^{-(a+b)}I_0(2\sqrt{ab}), $$ para cada $a$$b$. Por lo tanto, cuando se $a< b$, $$ \rho(a,b)=e^{-(a+b)}\int\limits_0^\pi e^{2\sqrt{ab}\cos\theta}\frac{b-\sqrt{ab}\cos\theta}{a+b-2\sqrt{ab}\cos\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}\pi. $$ Comentario: El resultado es discontinua en torno a $a=b$, ya que para todos los fijos $a$, $\rho(a,b)\to\rho(a,a)+\frac12$ al $b\to a^-$ $\rho(a,b)\to\rho(a,a)-\frac12$ al $b\to a^+$.