Probar una desigualdad en número natural

Question

Demostrar eso si $ a,b\in N$ y $a < b$ y $$\frac{a^a}{(a+1)^{a+1}} > \frac{b^b}{(b+1)^{b+1}}.$ $

Answer 1

Usando la desigualdad de Bernoulli, obtenemos $$\begin{align} \frac{(a+1)^{a+1}}{a^a}\frac{(a-1)^{a-1}}{a^a} &=\frac{a+1}{a-1}\left(1-\frac1{a^2}\right)^a\\ &\ge\frac{a+1}{a-1}\left(1-\frac1a\right)\\ &=\frac{a+1}a\\[8pt] &\gt1 \end {Alinee el} por tanto $$, $$ \frac{a^a} {(a+1) ^ {a + 1}} \lt\frac {(a-1) ^ {a-1}} {una ^ una} $ que dice que $\dfrac{a^a}{(a+1)^{a+1}}$ es una función estrictamente decreciente de $a$.

Answer 2

Consejo. Sólo puede observar que, $x >0$, la función de $$f(x)=\log \left(\dfrac{x^x}{(x+1)^{x+1}} \right) $ $ está disminuyendo. De hecho, tenemos $$ f (x) =-x \log\left (1 + \frac 1x\right)-\log (x + 1) $ y $$ f ' =-\log\left (1 + \frac 1x\right) < \qquad 0, x > 0. $$