Soluciones reales de la ecuación $x = \sqrt{3-x} \cdot \sqrt{4-x} + \sqrt{4-x} \cdot \sqrt{5-x} + \sqrt{5-x} \cdot \sqrt{3-x}$

Question

Resuelve la ecuación

$$x = \sqrt{3-x} \cdot \sqrt{4-x} + \sqrt{4-x} \cdot \sqrt{5-x} + \sqrt{5-x} \cdot \sqrt{3-x},$$

donde $x \in \mathbb{R}$ .

Answer 1

Estoy asumiendo que estamos resolviendo sobre los reales.

Set $a=\sqrt{3-x}$ y lo mismo para $b$ y $c$ . Entonces $x=ab+bc+ca$ y vemos $$a^2+x = 3,\qquad b^2+x=4,\qquad c^2+x=5$$ Sustituyendo por $x$ encontramos $$(a+b)(a+c) = 3,\qquad (b+c)(b+a)=4,\qquad (c+a)(c+b)=5$$ Así, $$(a+b)(a+c)(b+c)=\sqrt{60}$$ Esto lleva a $$a+b=\frac{\sqrt{60}}{5},\qquad b+c=\frac{\sqrt{60}}{3},\qquad a+c=\frac{\sqrt{60}}{4}$$ Así que $$a = a+b+c - (b+c) = \frac{47}{2\sqrt{60}} - \frac{20}{\sqrt{60}} = \frac{7}{2\sqrt{60}}$$ Así, $$x = 3-a^2 = 3 - \frac{7^2}{240} = \boxed{\frac{671}{240}}$$