¿Obtener un tiempo de espera de registro-normal vía secuenciales distribuciones exponenciales o gamma - es posible?

Question

Supongamos que has de usar un acelerado fracaso del modelo de tiempo para encontrar que la transición de los sujetos de un Estado a a Un Estado B es el registro de una distribución normal con parámetros de $\mu$ = X y $\sigma$ = Y.

Ahora, esto tiene que ser utilizado en la ecuación diferencial del modelo como la tasa a la que los sujetos se mueven de un Estado a a Un Estado B. sin Embargo, sólo el uso de $\mu$ como el porcentaje de probabilidad de pasar de a a B resultados en un exponencialmente distribuidos de tiempo de espera, no un registro-normalmente distribuida tiempo.

Sé que sin embargo, puede utilizar una serie de secuenciales independientes distribuciones exponenciales para obtener un total de gamma distribuido el tiempo de espera. Por ejemplo, si tarda 2 días para pasar de a a B, cuatro equidistantes exponencial de distribuciones de resultados en un total de gamma distribuido el tiempo de espera con $\kappa$ = 4 $\theta$ = 2.

La pregunta es, hay una distribución gamma cuya forma y la escala de los parámetros de la aproximación de un log-normal? Sé que si he utilizado muchas distribuciones exponenciales para un alto $\kappa$ el teorema central del límite permite la distribución gamma para aproximar una log-normal, pero no estoy seguro de si hay una manera de obtener un log-normal tiempo de espera desde que. Esencialmente, hay algunos $\kappa$ y algunos $\theta$ que produce algo que se aproxime a un log-normal con $\mu$ = X y $\sigma$ = Y?

Answer 1

Como lo mencioné en mi comentario, una manera de aproximarse a la log-normal por una distribución gamma es a través del uso de la KL-divergencia. Es decir, podemos elegir los parámetros de la distribución gamma para minimizar

$$KL(\kappa,\theta)=\int_{0}^{\infty}p(z|\mu,\sigma)\log\left(\frac{p(z|\mu,\sigma)}{q(z|\kappa,\theta)}\right)dz$$

Donde $p(z|\mu,\sigma)$ es la log-normal de la densidad y $q(z|\kappa,\theta)$ es la gamma, densidad. Deje $C(\mu,\sigma)$ denotan los términos que no dependen del $\kappa,\theta$ tenemos:

$$KL(\kappa,\theta)=C(\mu,\sigma)+\log[\Gamma(\kappa)]+\kappa\log(\theta)-(\kappa-1)E_p[\log(z)]+\frac{1}{\theta}E_p[z]$$

Tomando derivados, da las siguientes ecuaciones a resolver:

$$\psi^{(0)}(\kappa)+\log(\theta)=E_p[\log(z)]=\mu$$ $$\kappa\theta=E_p[z]=\exp\left(\mu+\frac{1}{2}\sigma^2\right)$$

Donde $\psi^{(m)}(x)$ es el polygamma función. Estos no se pueden resolver analíticamente, aunque podemos eliminar $\theta$ y tenemos:

$$\kappa= \exp\left(\psi^{(0)}(\kappa)+\frac{1}{2}\sigma^2\right) $$

Un valor inicial puede ser obtenida mediante el uso de la aproximación $\psi^{(0)}(\kappa)\approx\log(\kappa)-(2\kappa)^{-1}$ da $\kappa\approx\sigma^{-2}$. Esta aproximación pone mejor para los pequeños valores de $\sigma^2$.

La elección de este KL-divergencia se asegura de que el log-likelihood ratio entre p y q es pequeño cerca de las regiones de alta densidad en el registro exacto-distribución normal.

Haciendo la divergencia de la otra manera $q\log\left(\frac{q}{p}\right)$ resultados en el log-cociente de probabilidad es pequeña cerca de las regiones de alta densidad en $q$. Esto se conoce como Variacional de Bayes (aunque no es un estándar de aplicación de la misma) y se suele subestimar la varianza de la distribución exacta. Esto se traduce en el momento de coincidencia de que di en los comentarios. Así que el nuevo ecuaciones a resolver son

$$\psi^{(0)}(\kappa)+\log(\theta)=\mu$$ $$\kappa\psi^{(1)}(\kappa)+\frac{\psi^{(2)}(\kappa)}{2\sigma^2}=1$$

Esto podría ser importante como la cola derecha de una gamma son más ligeros que una log-normal - $\exp(-az)$ en comparación con $\exp(-b[\log(z)]^2)$. Para ver esto tenemos la misma aproximación (diferenciando la aproximación a la función digamma) por $\theta$ dado el valor de $\kappa$, pero ahora $\kappa\approx\frac{1+\sqrt{1+4\sigma^2}}{2\sigma^2}>\sigma^{-2}$ - es decir que se redujo el coeficiente de variación en comparación con el uso de la divergencia KL utilizado inicialmente (que también es discreto en forma exacta la inversa del cuadrado de la CV es $\frac{1}{\exp(\sigma^2)-1}$).