La terminología estándar para la relación entre $A$ y $B$ si $B= Q^t A P$ ?

Question

Deje que $A,B$ ser dos rectangulares $m \times n$ matrices relacionadas por $$B= Q^t A P$$ con $P$ un $n \times n$ y $Q$ un $m \times m $ matriz.

¿Hay una terminología estándar para esta relación? Si en lugar de la transposición $Q^t$ uno toma el inverso $Q^{-1}$ arriba, sólo se les llama "equivalentes" de acuerdo con http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_equivalence

Sé que cuando $m=n$ ( Edición 1 y P=Q) se utiliza "congruente" (caso transpuesto) y "similar" (caso inverso).

Edición 2 : $P$ y $Q$ se supone que ambos son invertibles (perdón por olvidar escribirlo). Como Marc van Leeuwen señaló, no tiene sentido distinguir entre los casos $Q$ , $Q^t$ y $Q^{-1}$ desde $Q$ es arbitraria (e invertible). Sólo tiene sentido cuando se interpreta $Q$ como matriz de cambio de coordenadas y $A$ como un operador lineal ( -> $Q^{-1}$ ) o la forma bilineal (-> $Q^t$ ) (ver explicaciones de Paul Garrett).

Gracias a todos los que contribuyeron a aclarar mi confusa pregunta.

Answer 1

Si ambos $P$ y $Q$ son invertible Entonces, esto es sólo eso $A$ y $B$ tienen el mismo rango . Esa noción de "equivalencia" es dudosa, al igual que varios fragmentos arcaicos de la terminología sobre las matrices, que se remontan a tiempos en los que no existía la comprensión del álgebra lineal independiente de las coordenadas.

Hay razones para considerar las relaciones $B=Q^\top A Q$ y $B=Q^{-1} A Q$ . El caso con inversa es el cambio de coordenadas/base para un mapa lineal $A$ donde el $Q$ es el mapa de cambio de coordenadas/base. El caso con transposición es el cambio de coordenadas/base para una forma _cuadrática_. $A$ con $Q$ de nuevo el mapa de cambio de coordenadas/base.

Los casos $B=Q^\top AP$ y $B=Q^{-1} A P$ son el cambio de coordenadas de, respectivamente, un mapa bilineal $A:V\times W\rightarrow \hbox{scalars}$ y un mapa lineal $T:V\rightarrow W$ dado por $A$ donde en ambos casos se cambian las coordenadas de forma posiblemente no relacionada en ambos espacios vectoriales.

Edición: es decir, (dejando caer el otro zapato), se trata de expresiones de cambio de coordenadas/base para cuatro cosas concretas: mapas lineales de un espacio a sí mismo, formas cuadráticas sobre un espacio, mapas bilineales sobre dos espacios y mapas de un espacio a otro. Es decir, hacer tales cosas a las matrices no es una mera conformidad con algún conjunto inexplicable de reglas, sino que, de hecho, es hacer una cosa obvia. Entender qué es lo apropiado se ve muy favorecido por la comprensión de cuál es el punto.