Representación matricial del producto de la corona

Question

Mi objetivo es entender el producto de la corona de $\mathbb{Z}/2$ por $S_3$ en términos de grupo de matrices. El problema al que me enfrento es el siguiente:

(1) En GAP, el producto corona de $\mathbb{Z}/2$ por $S_3$ se entiende como: tomar $|S_3|=6$ copias de $\mathbb{Z}/2$ y considerar su producto directo. En este producto directo, $S_3$ actúa como un grupo de permutación regular de grado $6$ . El grupo resultante $\mathbb{Z}/2\wr S_3$ tiene orden $2^6.|S_3|=2^7.3$ .

(2) Hay un flujo matemático pregunta con un título similar. En la respuesta a esta pregunta, G. Robinson entendió la corona producto de $\mathbb{Z}/2$ por $S_3$ como: considerar abelianos elementales $2$ -grupo de rango $3$ y que $S_3$ actúan sobre ella mediante un grupo de permutación de grado $3$ . El producto semidirecto resultante de $(\mathbb{Z}/2)^3$ por $S_3$ es el producto de la corona $\mathbb{Z}/2 \wr S_3$ (el orden de este grupo es $2^3.6=48$ ).

El producto corona considerado por G. Robinson tiene una buena interpretación como grupo de matrices enteras. Pero, ¿cómo podemos describir bien el producto de la corona $\mathbb{Z}/2\wr S_3$ (como se considera en GAP) como un grupo de matrices enteras.

Answer 1

Se pregunta por la representación monomial del producto de coronas de grupos de permutación que actúan sobre copias de un grupo cíclico.

Si $G$ es un grupo de permutación en $m$ puntos, y $C$ es un grupo cíclico de orden $n$ entonces $C \wr G \cong C^m \rtimes G$ puede considerarse un grupo matricial $MW$ considerando $C$ como un grupo de $1\times 1$ matrices (el $n$ raíces de la unidad) y luego $MW = \{ a(g,c_1,\ldots,c_m) : g \in G, c_i \in C \}$ donde el $(i,j)$ La entrada de $a(g,c_1,\ldots,c_m)$ es 0 a menos que $g(i) = j$ y es $c_i$ si $g(i) = j$ .

En otras palabras, la permutación es una matriz de permutación que describe dónde están las entradas no nulas, y la $c_i$ describen lo que son las entradas no nulas.

Esto puede hacerse en GAP utilizando los siguientes comandos:

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gap> G := SymmetricGroup(3);;
gap> C := CyclicGroup(IsPermGroup,2);;
gap> W := WreathProduct(C,G);;
gap> MG := Group( List( GeneratorsOfGroup( G ), perm ->
> PermutationMat( perm, NrMovedPoints(G) ) ) );;
gap> MC := Group( DiagonalMat( Concatenation( \[ E(Size(C)) \],
> List( \[2..NrMovedPoints(G)\], i -> 1 ) ) ) );;
gap> MW := ClosureGroup( MG, MC );;
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Si necesita más información general $C$ (no sólo cíclica), entonces hay que utilizar matrices monomiales en bloque. InducedGModule hará la mayor parte del trabajo por ti.

Con el fin de hacer $W$ un grupo de permutación (para que los métodos más rápidos estén disponibles), querrás pasarle grupos de permutación como argumentos. CyclicGroup(IsPermGroup,2) lo hace, pero también lo hace SymmetricGroup(2) .

Si realmente quieres el grupo de orden $2^6 \cdot 6$ y cambiar la primera línea por la siguiente:

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gap> G := Image(RegularActionHomomorphism(SymmetricGroup(3)));;
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Esto escribe $S_3$ como grupo de permutación en 6 puntos.